テイラーの定理→マクローリンの定理

質問

テイラーの定理
f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+{f''(a)/2!}(b-a)^2+・・・・・・+{f^(n-1)(a)/(n-1)!}(b-a)^(n-1)+{f^(n)(c)/n!}(b-a)^nにおいて
a=0,b=x,c=θxとすると、マクローリンの定理
f(x)=f(0)+f'(0)x+{f''(0)/2!}x^2+・・・・・・+{f^(n-1)(0)/(n-1)!}x^(n-1)+{f^(n)(θx)/n!}x^n
と教科書にかいてあります。

その下に、いろいろな説明があって
sinx=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-・・・・・+{(-1)^(m-1)/(2m-1)!}x^(2m-1)+{(-1)^m sinθx/(2m)!}x^2m
cosx=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-・・・・・+{(-1)^m/(2m)!}x^(2m)+{(-1)^(m+1) cosθx/(2m+2)!}x^(2m+2)

とあるのですが、sinxについての一番最後の項は分子(2m+1)!、xの次数は2m+1だと思うのですが、これは間違いですか？

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

sinx = x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-・・・・・+{(-1)^(m-1)/(2m-1)!}x^(2m-1)
+{(-1)^m sinθx/(2m)!}x^2m
・・のsinの剰余項は誤りと思う・・!

剰余項をRnとするとn = 2m－1の時のマクローリン展開した時のsinxの剰余項Rn(=R2m)は

Rn = {(-1)^m・cos(θx)/(2m+1)!}・x^(2m+1)