テイラーの定理

質問

現在大学の工学部一年です
今度の微分積分学のテストでテイラーの定理の問題がでそうなのですがノートや教科書をみてもお恥ずかしいことにほとんど理解ができず困っております
テイラーの定理がしていることはなんなのか、また問題がでるとしたらどのような形で出題され、どのような手順でとけばよいのでしょうか？

わがままな質問で申し訳ありません

回答No.2

cyototu · ベストアンサー

テーラー展開の公式は簡単な構造をしているので覚え易いですから、必ず暗記して下さい。以下で説明しますように、この公式は物理や工学をやる人にとって、基本中の基本の公式です。さて、

＞テイラーの定理がしていることはなんなのか

にお答えします。物理や工学で扱う現象を関数で表そうとすると、殆ど全ての場合、その関数は途轍もなく複雑なものになっています。ところが、その関数がある点の周りで発散せず、また何回でも微分可能な場合には（したがってその点の周りでスムースな場合、あるいはもっと数学的に厳密に言うと、正則の場合）、その関数はその点からのずれのベキ関数として、級数展開で書ける、と言うのがテイラーの定理です。

これは大変便利な定理です。何故なら、その点からのずれが１より十分に小さい時には、ずれの高次のベキは急激に小さくなるので、ずれのベキの最初の数桁で元の関数が近似できるからです。したがって、上の条件を満たすどんなに複雑な関数でも、その点の近傍では、ある有限な次数のベキ関数で近似できてしまうからです。

物理や工学では、その近似が可能な場合がごっそりあり、したがってテーラー展開は日常茶飯事に使われているのです。例えば、質問者さんは調和振動子と言うのを習ったと思います。これは物理学と工学の基本中の基本の運動系で、どんな問題を扱っても出てくると言っても良いくらい頻繁に出会う運動系なのです。

ところで、何故調和振動子が何処にでも顔を出すのでしょうか。その理由は次のようにテーラー展開で説明できます。どんな関数だか分からないが、下に凸な形をした滑らかなポテンシャルを考えてみましょう。そのポテンシャルの最低点の微分は、最低点の定義によって必ずゼロです。それ故、テーラー展開の定理によると、そのポテンシャルを最低点からのずれのベキで展開すると、ずれの１次に比例する項はゼロになります。したがって、ベキ展開は必ず２次か、それ以上のベキで始まります。もし２次から始まる場合には、ずれが小さいとすると、３次以上は無視できるので、ポテンシャルは２次関数になります。ポテンシャルが２次関数だったら、運動は必ず調和振動子になります。ですから、ボテンシャルの関数形がどんなに複雑だったとしても、最低点の周りでは、必ず運動方程式の解は、調和振動子の運動で近似できるのです。そして、もしもっと正確なことが知りたかったら、テーラー展開のベキ展開のもう一つ高次のベキの効果まで取り入れて、調和振動子の解を修正すれば、もっと正しい答えが得られます。

このように、テーラー展開の定理を使うと、いろいろな複雑な運動方程式が、大変良い近似で簡単に解けてしまうのです。ですから、物理や工学をやる人にとって、テーラー展開は基本中の基本な定理なのです。

お礼

解答ありがとうございます
つまりテイラーの定理というのは『誤差の範囲をなくして近似式にしてしまう』という便利なものなのですね
たしかに物理などでは本当に小さい誤差などを省いて計算するのにとても約にたちそうな式ですね
計算方法もなんっとか探しだし、少しづつ理解しつつある気がします

このような質問に答えていただき感謝します

回答No.1

notnot

教科書を読んでも理解できない人に、前提無しで、こういう場で理解できるまで説明出来る人がいると思えません。

まずは、ここまではこういう風に理解したというのを書いてもらえば、そこまでは間違ってないとか、すでに間違ってるとか、そういうアドバイスができるかと。
それも書けないくらいさっぱりわからないと言うことだとあきらめるしかないと思います。

お礼

質問があいまいで本当に申し訳ありませんでした
上の回答をヒントに少しづつ理解しつつあります
ありがとうございました