テイラー定理を用いた証明です。

質問

画像の問題について証明できず困っています。

自分の中で解法の指針も立たずお手上げ状態です。

どなたか解説お願いします。

他の質問にテイラーの定理を用いないで証明したのがありましたが、

問題に沿ってないのでテイラーの定理を用いてお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

Taylorの定理を使えとの事なので：

背理法で示します。「|f'(x)|≦2を示せ」という問題なので、
そうでないとして矛盾を示します。

A.
f'(a)＞2なるa∈[-1,1]が存在する場合
Taylorの定理より任意のx∈[-1,1]に対しc∈[-1,1]が
存在して(x=-1 or x=1の時もokay)

f'(x)=f'(a)+(x-a)f''(c)
≧f'(a) - (x-a) (x≧a)
≧f'(a) + (x-a) (x＜a) (|f''(c)|≦1だから）

よって
f(1)
= f(-1) + ∫_[-1,1] f'(x)dx
≧ f(-1) + ∫_[-1,a] (f'(a)+(x-a)) dx + ∫_[a,1] (f'(a)-(x-a)) dx
= f(-1) + 2f'(a) -(1+a^2)
≧ f(-1) + 2f'(a) -2
> -1 + 2*2 -2 (|f(-1)≦1, f'(a)>2 だから)
= 1
となって、|f(1)|≦1に反する

B.
f'(a)<-2なるa∈[-1,1]が存在する場合
この場合も同様の議論をすれば良い