ベストアンサー ★急ぎ★マクローリン(テイラー)展開について 2002/02/07 21:53 マクローリン(またはテイラー)展開の証明の方針が知りたいです。 実際に証明式を書いてくれると有り難いですが、面倒臭ければ、方針の箇条書きでも結構です。 出来るだけ早めによろしくお願いします。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー zuri1000 ベストアンサー率45% (14/31) 2002/02/08 18:19 回答No.1 大学１，２年次、一般書に書いてあるテイラー展開の証明が納得できず２年間証明を理解しないまま展開式（Σ記号のあるやつ）だけ暗記して使っていました。 別に展開の仕方だけ知ってれば困ることはありませんでしたが、収束判定とかを厳密に理解したことになりませんよね。 証明の方針は、δ-ε論法→ワイヤストラスの定理→ロルの定理（平均値の定理？）という具合でしょうか？（順番は違う書き方しているのも見受けられるが） 一般書は平均値の定理とかワイヤストラスを無条件でいきなり使っています（だから納得できない）が、私の場合結局δ-ε論法を理解していないと納得いきませんでした。 共立出版の数学ワンポイント双書シリーズに、テイラー展開だけで１冊になっている本があるから、読んでみるといいよ。私はこれで納得できた（つもりでいる）。 δ-ε論法を知らなかったらこのシリーズに１冊でデルタ・イプシロンだけが書かれているのがあるから読んでみるといいよ。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A テイラー展開とマクローリン展開の語源に関する質問 テイラー展開はマクローリン展開の拡張であり、 マクローリン展開はテイラー展開のある制約のもとで成り立つ式です。 テイラー展開とマクローリン展開はどちらが先に生まれたのでしょうか？ なぜほとんど同じものである公式に全く別の人の名前がついているのでしょうか？ テーラー展開とマクローリン展開 独学なのでいまいちはっきりわからなく。。。 f(x)のテーラー展開 Σ(n=0~∞) (☆/n!)(x-a)^n (☆はf(x)をn回微分したものにaを代入した値） １）マクローリン展開はテーラー展開の一種である。（テーラー展開のaに０を代入したものをマクローリン展開という） ２）aに代入する値は別に何の数字であっても展開はできる 3)テーラー展開は基本的に無限回微分可能な関数をf(x)=多項式の形に直すのに使われる という理解でいいのですか？ 間違ってたら訂正お願いします。 またこれはいつ使うのでしょうか。。？ 冪級数展開 マクローリン展開 テーラー展開 冪級数展開とはテーラー展開とマクローリン展開の総称だと思っていました。 知人によれば、冪級数展開はマクローリン展開と同じ意味でテーラー展開とは 違うと言っていました。 私は、マクローリン展開はテーラー展開のx=0つまり、原点中心の級数展開だから どちらも同じように思っています。 冪級数展開とはマクローリン展開のことを指すのでしょうか？ テーラー展開のことは冪級数展開とは言わないのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム テイラー展開とマクローリン展開の関係 テイラー展開とマクローリン展開の関係を簡単に教えてください。 テーラー展開（マクローリン展開）について テーラー展開についての質問です。 問題=============================================== 1/cos x のx=0を中心とするテーラー展開を4次の項まで求めよ。 =============================================== この問題の解答例として、以下のような解説があったのですが、 わからない点が有ります。 <解答例> cos x のマクローリン展開は、 cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + … ( |x| < + ∞）であるから、 1/cos x = 1/( 1 - x^2/2! + x^4/4! + …) ここで、 1/(1 - x) のマクローリン展開が Σ{n=0→+∞} x^n で与えられるので、 これを利用して、 1/cos x = 1 + (x^2/2! - x^4/4! +…) + (x^2/2! - x^4/4! + … )^2 + … ー(1) = 1 + x^2/2 + 5x^4/25 +… ー(2) となる。 ここで疑問なのは、 1/(1 - x) のマクローリン展開は、|x|<1 の条件が成り立つ時に限り収束するので、 適用できるわけじゃないですか？ (1)から(2)のような形にする場合に、 |(x^2/2! - x^4/4! +…)| < 1 となっていないのに、このような展開をしてもいいのでしょうか？ 具体的には、cos x は xの値によって -1 <= cos x <= 1 まで取り得るので、 cos x のマクローリン展開の初項が1ということは、 それ以下の項の和がxの値次第で -2程度になることも考えられると思うので このような展開をしてはいけないと思うのです。 当方 テーラー展開についてよく熟知していないため、 ご指導お願いします。 マクローリン、テーラーという人はそれぞれマクローリン展開についてどういう貢献をしたのですか 数学の「マクローリン展開」の発見に関して、マクローリンという人と、テーラーという人はそれぞれどういう貢献、どういう仕事をしたのでしょうか。 マクローリン展開がわかりません (1+x)^1/3 をマクローリン展開（x=0でテイラー展開）せよ。 よろしくお願いします！ テイラー展開とローラン展開 テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか？式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。 テーラー展開するには e^-xをテーラー展開するということはマクローリン展開すればよいのですか？問題ではxの値が指定されていません。さらに、近似誤差が１％以内となるxの値も問われています。どうすればよいか詳しく教えてください。 ｎ次近似式とテイラー展開について 学校で近似式の勉強をしていて、テイラー展開という所まで進みました。 そこでｎ次近似式との関係について良くわからない事がありましたので質問します。 文章がわかりにくいと思いますがお願いします。 ｎ次近似式は、ｎ番目までの近似でｎ番目の後にランダウの記号がついています。 テイラー展開はｎ番目の近似の後にさらに・・・と続いています。 この二つにはどのような違いがあるのでしょうか？ あとマクローリン展開はa=0の時のテイラー展開という事はわかりました。 そこで、 f(x)=exp(x)のx=0におけるn次近似式を求めよ。と書いてあった時は、ｎ次近似式とテイラー展開が同じ事を言っているとしたら、マクローリン展開で解いても良いのでしょうか？ マクローリン展開について マクローリン展開について マクローリン展開の公式は覚えているのですが、実際にマクローリン展開しx^4の項まで求めよ、という問題が出ると解けません。 f(x)=sinxをx^4までマクローリン展開すると、答えがx-(x^3/3!)+・・・・となっていました。 x^4までとはどのように計算して行ったら上のような回答が出るのでしょう？ マクローリン展開について マクローリン展開について テーラー展開で y=√x+1を５次の項までをしたいのですが、 yの３回微分あたりからくしゃくしゃしてしまって出来ません。 どうか、ご教授お願いします。 この関数ではこういうこともできるよ！みたいな裏技みたいなものもあれば嬉しいです。 y'=1/2√x+1 y"=-1・(2√x+1)'/(2√x+1)^2 =-1/4(√x+1)^3 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム テイラー展開 テイラー展開 次の問題の解き方を教えてください。 f(x)=arctan xに対して、次の問いに答えよ。 (1)f(x)の２次のマクローリン展開を求めよ。 途中まで一応解いてみたのですが、ここまでも合っているか分かりません(汗) テイラー、マクローリンの定理 テイラーの定理、マクローリンの定理が大切と思われる理由を述べよ。という問題が出たのですが、近似値の証明の拡張が出来るからと答えたら間違いでした。 どなたか、ご教授お願いします。 マクローリン展開の問題です。 （1+x）^αのマクローリン展開式を用いて、1/(1+x+x^2)^(1/2) のマクローリン展開式x^3の項まで求めよ。 というような問題です。 解き方の確認をしたいのですが （1+z）^αのマクローリン展開式を求めた後、zにx+x^2を、αに1/2を代入すればいいのでしょうか？ ご回答よろしくお願いします。 マクローリン展開について e^axi=cosax+isinax となることを証明したいのですがどうすればいいのでしょうか？ 両辺をマクローリン展開するらしいのですがわかりません。 教えて下さい。困っています。 マクローリン展開について マクローリン展開の問題なのですが、以下の問題で何回解いても模範回答と同じ答えになりません。 どなたか途中式を含めて解説お願いできないでしょうか。 y=tanxのマクローリン展開をx^5の項まで求めよ (剰余項は考えなくて良い) という問題です よろしくお願いします テーラー展開 f(x)=x^2-x+1について、x0(中心点)を５としてテイラー展開しなさいという問題です。 筆算の場合のテーラー展開はやったんですが微分できる回数が決まってる式の展開というのが分かりません。 途中の式を教えてください。お願いします。 マクローリン展開について すごく簡単な質問なんですが、arcsin x（アークサインエックス）をマクローリン展開した式を教えてください。お願いします。教科書を見て探したのですが見つかりませんでした。 マクローリン展開 f(x)=(1+x)^N,ここでＮは整数です。 この式をマクローリン展開し、ニュートンの二項定理の式が導かれることを示したいです。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
