【高次方程式の解法】

質問

実数を係数とする3次方程式x^3-√３x^2+3ｘ+a=0の
異なる3つの解の実部がすべて等しい時、aの値は？

3次方程式の解と係数の関係が使えそうなんですが…

数学の得意な方、お願いします！

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

[1] f(x) = x^3-(3^0.5)x^2+3ｘ+a

とします。f(x)の根のうち１つは実数で、他の２つは複素共役なので、実数αとβを使って、α、α+iβ、α-iβと書けます。よって、

[2]　f(x) = (x-α)(x-α-iβ) (x-α-iβ)
　　　　= x^3-3αx^2+(3α^2+β^2)x-α^3-αβ^2

となります。[1]と[2]の各項の係数が等しいので、次の等式を得ます。

-(3^0.5)=-3α
3=3α^2+β^2
a=-α^3-αβ^2

これらを解いて、

α=(3^0.5)/3
β=±(2^0.5)
a=(-7/9)(3^0.5)

となります。