従属

質問

f(x)=-x^3 + (37/9)*x の グラフG(f) 上の (X,f(X))における接線は
　y=(37/9-3 X^2)*(x-X)+(-X^3+(37/9)*X) である。
接線とG(f)の接点以外の交点を求めて下さい;
交点に於ける法vctorは (-(37/9)+12 X^2,1)
を採用出来ることを示し
(-(37/9)+12 X^2,1)と　接vector (1,(37/9-3 X^2))が 　線型従属する
(-(37/9)+12 X^2,1)=K*(1,(37/9-3 X^2))
(X,K)を求めて下さい;
得た　Xを用い　(X,f(X))における接線　と　G(f) を　図示願います;
-----------------------------------------------------------------
G(f)の双対曲線G(f)^★を多様な発想で求め,
上で得た接線に対応するG(f)^★上の点を明記願います；

回答No.1

jcpmutura

f(x)=-x^3+(37/9)xのグラフG(f)上の(X,f(X))における接線
y=(37/9-3X^2)x+2X^3
とG(f)の接点以外の交点を(x,y)とすると

(37/9-3X^2)x+2X^3=-x^3+(37/9)x
x^3-3X^2x+2X^3=0
(x-X)(x^2+Xx-2X^2)=0
(x-X)^2(x+2X)=0
↓x≠Xだから
x=-2X
y=8X^3-2(37/9)X

交点は(x,y)=
(-2X,8X^3-(74/9)X)

f'(x)=-3x^2+(37/9)
交点の接線の傾きは
f'(-2X)=-12X^2+(37/9)
だから
交点における法vectorは
(-(37/9)+12X^2,1)
を採用できる

(-(37/9)+12X^2,1)=K(1,(37/9)-3X^2)
とすると
K=-(37/9)+12X^2
1=K{(37/9)-3X^2}
1=K(37/9-3X^2)=K{-K/4+(37/12)}
K^2/4-(37/12)K+1=0
K^2-(37/3)K+4=0
3K^2-37K+12=0
(3K-1)(K-12)=0
K=1/3.又は.12
K=1/3の時
1/3=-(37/9)+12X^2
12X^2=37/9+3/9=40/9
X^2=40/108=10/27
X=(√30)/9
K=12の時
12=-(37/9)+12X^2
12X^2=37/9+12=(37+108)/9=145/9
X^2=145/108
X=(√435)/18

(X,K)=((√30)/9,1/3)
または
(X,K)=((√435)/18,12)

X=(√30)/9の時
X^2=30/81=10/27
37/9-3X^2=37/9-10/9=3
X^3=10√30/243
2X^3=20√30/243
f(√30/9)=101√30/243
(√30/9,101√30/243)
における接線は
y=3x+20√30/243

X=(√435)/18の時
X^2=435/324=145/108
37/9-3X^2=37/9-145/36=(148-145)/36=1/12
X^3=145√435/1944
2X^3=145√435/972
f(√435/18)=299√435/1944
(√435/18,299√435/1944)
における接線は
y=x/12+145√435/972
----------------------------------------
接線の方程式は
y=(37/9-3X^2)x+2X^3
だから
y=ax+b
とすると

a=37/9-3X^2
b=2X^3

3X^2=37/9-a
X^2=37/27-a/3
b/2=X^3

b^2/4=X^6
X^6=(37/27-a/3)^3

b^2/4=(37/27-a/3)^3

a=-x/y
b=-1/y
とすると
1/(4y^2)={37/27+x/(3y)}^3
両辺にy^3をかけると
y/4=(37y/27+x/3)^3

(y/4)^{1/3}=37y/27+x/3
x/3=(y/4)^{1/3}-37y/27
∴
G(f)の双対曲線G(f)^*は

x=3(y/4)^{1/3}-37y/9

接線
y=3x+20√30/243
に対応するG(f)^*上の点を(x,y)とすると
-x/y=a=3
-1/y=b=20√30/243
y=-1/b=-243/(20√30)=-81√30/200
x=a/b=3*243/(20√30)=(243√30)/200
だから
接線
y=3x+20√30/243
に対応するG(f)^*上の点は
(243√30/200,-81√30/200)

接線
y=x/12+145√435/972
に対応するG(f)^*上の点を(x,y)とすると
-x/y=a=1/12
-1/y=b=145√435/972
y=-1/b=-972/(145√435)=-324√3/(145√145)=-324√435/21025
x=a/b=81/(145√435)=27√3/(145√145)=27√435/21025
だから
接線
y=x/12+145√435/972
に対応するG(f)^*上の点は
(27√435/21025,-324√435/21025)