俺たち 外接円

質問

y＝x^2 の三つの異なる点;{1,1},{2,4},{3,9}の接線　の　交点によって囲まれる三角形の外接円を求めよ;
y＝x^2 の三つの異なる点;{-1,1},{-2,4},{-3,9}の接線　の　交点によって囲まれる三角形の外接円を求めよ;
y＝x^2 の三つの異なる点;{-5,25},{-(21/5),441/25},{11/5,121/25}の接線　の　交点によって囲まれる三角形の外接円を求めよ;

回答No.7

178-tall

三角形の外心
　　↓
参照 URL

参考URL：

https://mathtrain.jp/goshin

回答No.6

178-tall

ANo.5 への蛇足。

[1] 三点；(1,1), (2,4), (3,9) における接線方程式を求める。
　at (1, 1) → y = 2x-1　　　… (1)
　at (2, 4) → y = 4x-4　　　… (2)
　at (3, 9) → y = 6x-9　　　… (3)

[2] 三接線の交点を求める。
　接線 (1) と (2) → (3/2, 2) = p12
　接線 (1) と (3) → (2, 3) = p13
　接線 (2) と (3) → (5/2, 6) = p23

[3] {p12, p13, p23 の異なる二つのペアを選定。
　たとえば、{p12, p13} と {p12, p23}

[3] 各ペアにて、二点を結ぶ線分の直交二等分線 (二本) の方程式を求める。
　 y = -(1/2)x + (27/8)
　 y = -(1/4)x + (9/2)

[4] 二本の直交二等分線交点を求める。
　 (一次連立式) ： y = -(1/2)x + (27/8) = -(1/4)x + (9/2)
　　　　↓
　(27/8) - (9/2) = (1/4)x
　-9/8 = (1/4)x
　x = -9/2, y = 9/4 + 27/8 = 45/8
　　　↑
この ( -9/2 45/8 ) が 「 (p12, p13, p23 を頂点とする) 三角形の外接円」の中心。

… じゃないのかナ？

回答No.5

178-tall

>y＝x^2 の三つの異なる点;{1,1},{2,4},{3,9}の接線　の　交点によって囲まれる三角形の外接円を求めよ;

[1] 三点；(1,1), (2,4), (3,9) における接線方程式を求める。
　at (1, 1) → y = 2x-1　　　… (1)
　at (2, 4) → y = 4x-4　　　… (2)
　at (3, 9) → y = 6x-9　　　… (3)

[2] 三接線の交点を求める。
　接線 (1) と (2) → (1.5, 2) = p12
　接線 (1) と (3) → (2, 3) = p13
　接線 (2) と (3) → (2.5, 6) = p23

[3] {p12, p13, p23 の異なる二つのペアを選定。
　たとえば、{p12, p13} と {p12, p23}

[3] 各ペアにて、二点を結ぶ線分の直交二等分線 (二本) の方程式を求める。

[4] 二本の直交二等分線交点を求める (一次連立式) 。
　　　↑
これが「 (p12, p13, p23 を頂点とする) 三角形の外接円」の中心。

(… じゃないかナ？)

回答No.4

staratras

No.2、3の方の解法が正攻法でわかり易いと思いますが、外接円の半径を求めるだけで良ければ、問題の三角形に正弦定理を適用することによって、計算量を減らすことができます。1番目を例に解きます。

放物線y=x^2 上の３点A(1,2),B(2,4),C(3.9)における接線はそれぞれ

A:y=2x-1…（１）
B:y=4x-4…（２）
C:y=6x-9…（３）であり

(１)と（２）の交点をD、（１）と（３）の交点をE、（２）と（３）の交点をFとする。
（１）（２）を連立させて解くとD(3/2,2)
（２）（３）を連立させて解くとF(5/2,6）であるから、
DF=√((5/2-3/2)^2+(6-2)^2)=√17

下の図でtan∠DEF=tan(180°-(α-β))=tan(α-β)であり、
(１）の直線の傾きは2、(３）の直線の傾きは6であるから、加法定理より、tan∠DEF=(6-2)/(1+6・2)=4/13 よってsin∠DEF=4/√185

三角形DEFの外接円の半径をRとすると正弦定理から
DF/sin∠DEF=2R　R=√17/(8/√185)=√3145/8≒7.010037…

回答No.3

info222_

[1番目]
y=x^2, y'=2x
3接線:
y=2(x-1)+1 ...(1),
y=4(x-2)+4 ...(2)
y=6(x-3)+9 ...(3)
33交点A,B,C(三角形頂点):
A(3/2, 2), B(5/2, 6), C( 2, 3),
円の半径R, 中心D(x0,y0) :
R^2=(x0-3/2)^2+(y0-2)^2=(x0-5/2)^2+(y0-6)^2=(x0-2)^2+(y0-3)^2, (R>0),
連立方程式を解:
x0= -9/2, y0=45/8, R=Sqrt(3145)/8,
外接円の方程式:
(x+(9/2))^2 +(y-(45/8))^2=3145/64 ... (Ans.)

[2番目]
[1番目]の場合と比較すると, Y軸対称であるから
外接円の方程式:
x->-x, y->y とすれば良いから
(x-(9/2))^2 +(y-(45/8))^2=3145/64 ... (Ans.)

[3番目]
[1番目] を参考にしてください。

回答No.2

MSZ006

方針としては、
(1).　接線の式を３つ出して、それぞれの交点３点を求める。
(2).　(1)で求めた３点から等距離にある点を求める。
(3).　(2)で求めた点が中心、(2)で求めた３点からの距離が半径の円が求める外接円。

あとは地道に計算するだけです。

回答No.1

fjnobu

正確な図を描いて、考えることです。何がわからないかを質問してください。問題の丸投げは理解にはつながりません。