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何次?
y=(x-Sqrt[x^2-1])/(Sqrt[x^2-1]+x) を含む 最小の代数曲線 c を求めて下さい; 獲た c の 次数は ? __次。 ----------------------------------------------------------- 永田雅宜著,理系のための線型代数の基礎,紀伊國屋書店(1987) 復刻, 線型代数書評 | 17:25 理系のための線型代数の基礎 作者: 永田雅宜 出版社/メーカー: 紀伊國屋書店 発売日: 1987/01/01 メディア: 単行本 購入: 1人 クリック: 7回 この商品を含むブログ (11件) を見る 英語力の無さから国際会議の原稿が煮詰まっているので、久しぶりの書評。 永田雅宜著と書いたが、これは代表著者であり著者は20人ほどとなっている。永田先生と言えば、可換環論。 ひらがなで書けば「かかんかんろん」。良い響きだ。 かかんかんろんといえばSyzygy(シチジー)が思い出される。今何時。 ------------------------------------------------------------------------------------ c の 双対曲線c^★を 多様な発想で求めて下さい; c^★の特異点を求め 其の君の名は_________と明記下さい。 獲た特異点に対応する c の 接線を 求めて cと共に図示願います; (また 接点をも明記願います) 不定方程式(Diophantine equation)を解いて下さい; c^★∩Z^2=
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- jcpmutura
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y={x-√(x^2-1)}/{√(x^2-1)+x} ↓両辺に√(x^2-1)+xをかけると {√(x^2-1)+x}y=x-√(x^2-1) xy+y√(x^2-1)=x-√(x^2-1) ↓両辺に{√(x^2-1)}-xyを加えると y√(x^2-1)+√(x^2-1)=x-xy (y+1)√(x^2-1)=x(1-y) ↓両辺を2乗すると (x^2-1)(y+1)^2=x^2(1-y)^2 ↓両辺に(y+1)^2-x^2(1-y)^2を加えると x^2(y+1)^2-x^2(1-y)^2=(y+1)^2 x^2{(y+1)^2-(1-y)^2}=(y+1)^2 4yx^2=(y+1)^2 4yx^2=y^2+2y+1 ↓両辺からy^2+2y+1を引くと ↓y={x-√(x^2-1)}/{√(x^2-1)+x}を含む ↓最小の代数曲線Cは C:4yx^2-y^2-2y-1=0 だから Cは 3次 曲線 ------------------ 4yx^2=(y+1)^2 x^2=(y+1)^2/(4y) x=±(y+1)/(2√y) x'=±(y-1)/(4y√y) だから 接点を(X,Y)とする接線は x=±[{(Y-1)/(4Y√Y)}(y-Y)+(Y+1)/(2√Y)] x=±[{(Y-1)/(4Y√Y)}y+(Y+3)/(4√Y)] 4yx^2-y^2-2y-1=0 の接線を cy=ax+b として接点を(x,y)とすると x=(y-b)/a=cy/a-b/a ±(Y-1)/(4Y√Y)=c/a ±(Y+3)/(4√Y)=-b/a (Y+3)^2/(16Y^2)=b^2/a^2 a^2(Y+3)^2=16b^2Y^2 a^2Y^2+6Ya^2+9a^2=16b^2Y^2 (a^2-16b^2)Y^2+6Ya^2+9a^2=0 {(a+4b)Y+3a}{(a-4b)Y+3a}=0 Y=3a/(4b-a).or.Y=-3a/(4b+a) Y=3a/(4b-a)の時 (Y-1)^2=16(a-b)^2/(4b-a)^2 1/Y^3=(4b-a)^3/27a^3 c^2=a^2(Y-1)^2/Y^3/16 c^2=(a-b)^2(4b-a)/(27a) (4b-a)(a-b)^2=27ac^2 (4b-a)(a^2-2ab+b^2)=27ac^2 -27ac^2-a^3+6ba^2-9ab^2+4b^3=0 a=-cx/y b=-c/y とすると c^3(27x+x^3/y^2+6x^2/y^2+9x/y^2-4/y^2)/y=0 27x+x^3/y^2-6x^2/y^2+9x/y^2-4/y^2=0 27xy^2+x^3-6x^2+9x-4=0 27xy^2=(4-x)(x-1)^2 Y=-3a/(4b+a)の時 (Y-1)^2/16=(b+a)^2/(4b+a)^2 1/Y^3=-(4b+a)^3/(27a^3) c^2=a^2(Y-1)^2/(16Y^3) c^2=-(b+a)^2(4b+a)/(27a) (4b+a)(b+a)^2=-27ac^2 (4b+a)(a^2+2ab+b^2)=-27ac^2 27ac^2+a^3+6ba^2+9ab^2+4b^3=0 a=-cx/y b=-c/y とすると -c^3(27x+x^3/y^2+6x^2/y^2+9x/y^2+4/y^2)/y=0 27x+x^3/y^2+6x^2/y^2+9x/y^2+4/y^2=0 27xy^2+x^3+6x^2+9x+4=0 27xy^2=-(x+4)(x+1)^2 Cの双対曲線C^*は C^*:|27xy^2+x^3+9x|=6x^2+4 -------------------------------- 27xy^2=(4-x)(x-1)^2,(0<x≦4) 27xy^2=-(x+4)(x+1)^2,(-4≦x<0) y=±{1/(3√3)}(x-1)√{(4-x)/x},(0<x≦4) はx=1で微分不可能だから (1,0)が特異点 -c=by=0 c=0 a/b=x=1 だから(1,0)に対応する接線は x=cy/a-b/a=-b/a=-1 x=-1 y=±{1/(3√3)}(x+1)√{-(x+4)/x},(-4≦x<0) はx=-1で微分不可能だから (-1,0)が特異点 -c=by=0 c=0 a/b=x=-1 だから(-1,0)に対応する接線は x=cy/a-b/a=-b/a=1 x=1 C^*の特異点は(±1,0) ----------------------------- 27xy^2=(4-x)(x-1)^2 の時 0≦27x^2y^2=x(4-x)(x-1)^2 0≦x(4-x) x(x-4)≦0 0≦x≦4 x=0を仮定すると 0=27xy^2=(4-x)(x-1)^2=4となって矛盾するから 0<x≦4 (x,y)∈Z^2とすると x=2を仮定すると 27*2y^2=2 y^2=1/27だからy∈Zに矛盾するからx≠2 x=3を仮定すると 27*3y^2=4 y^2=4/81だからy∈Zに矛盾するからx≠3 x=1の時27y^2=0→y=0→(x,y)=(1,0) x=4の時27y^2=0→y=0→(x,y)=(4,0) -27xy^2=(x+4)(x+1)^2 の時 0≧-27x^2y^2=x(x+4)(x+1)^2 x(x+4)≦0 -4≦x≦0 x=0を仮定すると 0=-27xy^2=(x+4)(x+1)^2=4となって矛盾するから -4≦x<0 (x,y)∈Z^2とすると x=-2を仮定すると 27*2y^2=2 y^2=1/27だからy∈Zに矛盾するからx≠-2 x=-3を仮定すると 27*3y^2=4 y^2=4/81だからy∈Zに矛盾するからx≠-3 x=-1の時27y^2=0→y=0→(x,y)=(-1,0) x=-4の時27y^2=0→y=0→(x,y)=(-4,0) ∴ c^*∩Z^2={(±1,0)(±4,0)}