微積分で解く問題だと思いますが、次の問題の解法が分かりません。

質問

微積分で解く問題だと思いますが、次の問題の解法が分かりません。

曲線がある時、曲線上の点P(α,f(α))とし、
曲線に対する点Pのでの接線とX軸との交点Qとする時
|PQ|が一定であるような曲線の式を求めよ、という問題です。

曲線がy=f(x)のような素直な式なのかどうかすら定かではありません。
何かいい解法がございましたら、ご教授願います。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

>|PQ|が一定であるような曲線の式を求めよ
この一定の値（PQの長さ）をk(>0)とおくと
P(a,f(a))
接線：y=f'(a)(x-a)+f(a)
Qのx座標はy=0とおけば求まり
x=a-f(a)/f'(a)
Q(a-f(a)/f(a),0)
三平方の定理より
PQ^2=(f(a)/f'(a))^2+(f(a))^2=k^2
P点(x,y)の軌跡の曲線は
a→x,f(a)→yとおいた微分方程式
(y/y')^2+y^2=k^2　…(1)
を解けば得られる。
(1)からy'を求めると
y'=±y^2/√(k^2-y^2)　(|y|<k)
これは１次の非線形常微分方程式である。
これを解くと
±dx=(k^2-y^2)^(1/2)/y^2dy
c±x=-arctan(y/√(k^2-y^2) -(1/y)√(k^2-y^2)

c±x+arctan(y/√(k^2-y^2) +(1/y)√(k^2-y^2)=0　(|y|<k)　…(★)
これが求める曲線の陰関数表現の方程式である。
ここで、ｃは任意定数である。

cを変化させるとx軸方向に曲線が平行移動するだけで
P点の軌跡の曲線の形状は変らない。

x=g(x)の形式での曲線の陽関数表現には簡単に表せるが、
y=f(x)の形式の曲線の陽関数表現に直すことは難しいだろう。

（★）の曲線をプロットして図示して添付しておく。
(図はk=2,c=0とした場合）

お礼

図示までいただいてありがとうこざいます。

回答No.4

noname#121794

訂正。y軸でなくx軸か。
そうするとQ(a-f(a)/f'(a),0)
|PQ|^2=(f(a))^2(1＋(1/f'(a))^2)=K

f'(a)=±f(a)/√(K-(f(a))^2)
さあこれを解け

回答No.3

noname#121794

P(a,f(a)),Pでの接線方程式はy=f'(a)(x-a)＋f(a)より
Q(0,f(a)-af'(a))である。
|PQ|^2=a^2(1＋(f'(a))^2)=K(定数)とすると
f'(a)=±√(K-a^2)/aを満たす。
さあこれを解け。

回答No.2

w_letter

曲線は、y=f(x)であらわされます。

接線の傾きは、微分で得られます。

点Ｑの座標は（ｂ，０）です。

ｂは、接線の傾きによって変化します。

線分ＰＱは、点P(α,f(α))と、点（ｂ，０）の距離です。

これらから、線分ＰＱを一定とする条件下で、
微分方程式を立てて、計算してください。

あとは、がんばってください。

回答No.1

alice_44

問題文中に「曲線上の点P(α,f(α))」と
書いてあるのだから、単純に y=f(x) と表せる曲線を想定してよい
んじゃないですかね。

…そういう御気楽は言わないとしても、
x=一定 という曲線(直線)が条件を満たさない
ことは明らかですから、解は、接点の近所傍では
y=f(x) と表されます。
普通に微分方程式を立てて、
解くときに、解が一意な関数になるかどうか
注意すればよい。