微分方程式

質問

画像上の赤ペンで丸をしているところ(2/3)がなぜそうなるのかわかりません。詳しい解説お願いします。

回答No.1

jcpmutura

(2x+1)y'-3(y-1)=0
{1/(y-1)}(dy/dx)=3/(2x+1)…(1)

2x+1=t…(2)
として両辺をxで微分すると
2=dt/dx
↓両辺に(3/2)/(2x+1)=(3/2)/tをかけると
3/(2x+1)={(3/2)/t}(dt/dx)
↓これと(1)から
{1/(y-1)}(dy/dx)={(3/2)/t}(dt/dx)
↓両辺をxで積分すると
∫{1/(y-1)}(dy/dx)dx=∫{(3/2)/t}(dt/dx)dx
∫{1/(y-1)}dy=(3/2)∫(1/t)dt
ln(y-1)=(3/2)ln(t)+c
↓これと(2)から
ln(y-1)=(3/2)ln(2x+1)+c

(y-1)^2=C(2x+1)^3