微分方程式

質問

微分方程式の問題です。
画像上の赤ペンで丸をしているところ(1/2と－1/2)が、なぜそうなるのか分かりません。
詳しく解説お願いします。

回答No.2

info222_

両辺を微分すれば上の式に戻ることはわかりますか?

であれば
d/dy{ln(1+y^2)}={d(y^2)/dy}/(1+y\2)
=2y/(1+y^2)
の2倍の2を作る為, (1/2)が出てきたのです。
(1/2)d/dy{ln(1+y^2)}=y/(1+y^2)
∫ {y/(1+y^2)}dy=(1/2) ln(1+y^2) +C

同様に,
d/dx{ln(1+x^2)}={d(x^2)/dy}/(1+x\2)
=2x/(1+x^2)
の2倍の2を作る為, -(1/2)が出てきたのです。
-(1/2)d/dx{ln(1+x^2)}= -x/(1+x^2)
∫ {-x/(1+x^2)}dx=(-1/2) ln(1+x^2) +C

お分かり?

回答No.1

jcpmutura

x(y^2+1)+y(x^2+1)y'=0
{y/(y^2+1)}dy/dx=-x/(x^2+1)…(1)

y^2+1=t…(2)
として両辺をxで微分すると
2y(dy/dx)=dt/dx
↓両辺を2(y^2+1)=2tで割ると
{y/(y^2+1)}(dy/dx)={1/(2t)}(dt/dx)
↓これと(1)から
{1/(2t)}(dt/dx)=-x/(x^2+1)…(3)

x^2+1=s…(4)
として両辺をxで微分すると
2x=ds/dx
↓両辺を-2(x^2+1)=-2sで割ると
-x/(x^2+1)=-1/(2s)(ds/dx)
↓これと(2)から
{1/(2t)}(dt/dx)={-1/(2s)}(ds/dx)
↓両辺をxで積分すると
∫{1/(2t)}(dt/dx)dx=∫{-1/(2s)}(ds/dx)dx
(1/2)∫(1/t)dt=(-1/2)∫(1/s)ds
(1/2)ln(t)=(-1/2)ln(s)+c
↓これと(2),(4)から
(1/2)ln(y^2+1)=(-1/2)ln(x^2+1)+c

ln(y^2+1)=ln[(x^2+1)^{-1}]+c
y^2+1=(x^2+1)^{-1}×C
(y^2+1)(x^2+1)=C