微分方程式です

質問

dy/dx+ycosx=1/2sin2x
という問題の解答と解説お願いします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

1/2sin2x というのが 1/{ 2*sin(2*x) } の意味だと解けないので、(1/2)*sin(2*x) という意味だと思います。

sin(2*x) = 2*sin(x)*cos(x) なので
　　　y' + y*cos(x) = (1/2)*sin(2*x) = sin(x)*cos(x)
　　　→ y' + { y - sin(x) }*cos(x) = 0 --- (1)
ここで、t = y - sin(x) とおくと
　　　y = t + sin(x) --- (2)
　　　y' = t' + cos(x) --- (3)
式(2), (3)を式(1)に代入すると
　　　 t' + cos(x) + t*cos(x) = 0
　　　→ t' + ( t + 1 )*cos(x) = 0 --- (4)
これを t について解けば、式(2)から y が求められますが、t + 1 が 0 か、そうでないかで場合分けします。

【t + 1 ≠ 0 の場合】
式(4)の両辺を t + 1 で割ると
　　　t'/( t + 1 ) + cos(x) = 0
両辺を x で積分すると
　　　∫t'/( t + 1 ) dx + ∫cos(x) dx = ∫0 dx
　　　→ ln| t + 1 | + sin(x) = C （定数）
　　　→ ln| t + 1 | = C - sin(x)
　　　→ | t + 1 | = exp{ C - sin(x) }
exp{ C - sin(x) } > 0 ≠0 なので t + 1 ≠0 というのが確かに成り立っています。上式の絶対値の記号をはずすと
　　　t + 1 = ±exp{ C - sin(x) } = ±exp( C )*exp{ -sin(x) } = C1*exp{ -sin(x) }　 ( C1 = ±exp( C )≠0 )
　　　→ t = C1*exp{ -sin(x) } - 1 --- (5)
式(2), (5) より
　　　y = t + sin(x) = C1*exp{ -sin(x) } - 1 + sin(x) --- (6)

【 t + 1 = 0 の場合】
t = -1 なので式(2)から
　　　y = t + sin(x) = -1 + sin(x)
これは式(6)で、C1 = 0 の場合に相当します。

したがって解は、A を定数（0を含む）として
　　　y = A*exp{ -sin(x) } - 1 + sin(x)

回答No.2

kiyos06

1)y=z exp(-sinx)とする。
2)exp(-sinx)dz/dx=1/2 sin2x
3)dz/dx=exp(sinx) sinx cosx
4) z=∫exp(sinx) sinx d sinx

回答No.1

c_850871

一階線形微分方程式
y'+p(x)y=q(x)
の解

y=e^(-∫p(x)dx){∫q(x)・e^(∫p(x)dx)dx+ C}

に代入です．
p(x)=cosx
q(x)=(1/2)sin2x
とすると

y=e^(-∫cosxdx){∫(1/2)sin2x・e^(∫cosxdx)dx+ C}
=e^(-sinx){∫(1/2)sin2x・e^(sinx)dx+ C}

ここまで．後はやってみてください．
後半の積分は
sin2x=2sinxcosx
を代入したのち
t=sinx
と置換すれば部分積分で出せる形になりますよ．