微分方程式

質問

(4x^2)y"+(4x^2)y'+(2x-3)y=0

この微分方程式が解けません
出来るだけ丁寧に解説していただけるとありがたいですσ(^_^;)

回答No.2

kiyos06

0)4x^2 d^2y/dx^2 +4x^2 dy/dx +(2x-3)y=0
1)y=x^n zとする。
2)4x^2 (x^n d^2z/dx^2 +2nx^(n-1) dz/dx +n(n-1)x^(n-2) z) +4x^2 (x^n dz/dx +nx^(n-1) z) +(2x-3)x^n z =0
3)4x^(n+2) d^2z/dx^2 +(8nx^(n+1) +4x^(n+2))dz/dx +(4n(n-1)x^n +4nx^(n+1) +2x^(n+1) -3x^n)z =0
4)zにかかる関数を整理する。
( (4n+2)x^(n+1) +(4n^2-4n-3)x^n )z
5)x^(n+1) ,x^n の係数が共に0になるnがあるか。n=-1/2
6)4x^(3/2) d^2z/dx^2 +(-4x^(1/2) +4x^(3/2)) dz/dx =0
7)d^2z/dx^2 +(1-1/x)dz/dx=0
8)dz/dx=vとする。
9)dv/dx +(1-1/x)v=0

回答No.1

Knotopolog

与式： (4x^2)y''＋(4x^2)y'＋(2x－3)y＝0

まず，　A と n を定数とし，y＝Ax^n とおく．y＝Ax^n を微分して与式：
(4x^2)y''＋(4x^2)y'＋(2x－3)y＝0 に代入し，A と n を求める．
求めた特殊解 y1 は y1＝1/√x となる．

次に，もう１つの特殊解 y2 を求める．z を x の関数として，
y2＝z*y1 ＝z/√x とおく．y2＝z/√x を微分して与式に代入すると，
(z''/z')＝－(2(y1)'/y1)－1 が得られるので，この式から，z を求めれば，
y2 ＝ z/√x が得られる．そして，一般解は，

y ＝ M*y1＋N*y2 　　　（M，N は積分定数）

で表される．（完）