コーシー・リーマン

質問

ω＝ｆ（ｚ）＝u(x,y)+iv(x,y)がD上正則であることの必要十分条件をコーシー・リーマンの関係式を用いて述べたいのですがどのような感じで述べれば良いのですか？回答式に答えていただきたいです。

また、ω＝ｆ（ｚ）＝u(x,y)+iv(x,y)がD上正則のとき、導関数が１/i｛Uy(x,y);iVy(x,y)｝で与えられることを示したいのですがどうすればよろしいですか？
これも回答式に答えていただきたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

kajina

＃１さんが、すでに答えていらっしゃいますが、
関数
f(z):=u(x, y)+iv(x, y)
とおけば、xで偏微分して
f_x(z)=u_x(x, y)+iv_x(x, y)
となり、Caucy-Riemannの関係式
u_x=v_y, u_y=-v_x
を用いれば
f_x(z)=v_y(x, y)-iu_y(x, y)
=(1/i){u_y(x, y)+iv_y(x, y)}
=(1/i)f_y(z)
ということをいっていると思います。

回答No.1

yaksa

前半は、コーシー・リーマンの関係式そのもの。

後半は、１/i{Uy(x,y);iVy(x,y)} の意味がわからない。
f(z)＝u(x,y)+iv(x,y)
の微分は、
f'(z)=(∂u/∂x)+i(∂v/∂x)
なので、それとコーシー・リーマンの関係式を使えば、なんかになるんだとは思うけど。