複素関数の証明

質問

たびたびすいません＞＜
(1)関数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)が正則なら
　△lfl^2=4lf'l^2≧０　がなりたつ
(2)さらにfが零点を持たないとき
　△loglfl=0　がなりたつ

以上を証明するのですが、(1)は普通に作用させたらu,vの２階微分が消えず、また１階微分も２乗になりませんでしたf^^;(2)も２階微分が消えないのです＞＜是非教えてください。。２階微分にもコーシー・リーマンのような方程式があるのですか？

回答No.1

yaksa · ベストアンサー

コーシー・リーマンの関係式（方程式じゃなくて関係式）を使えば、普通にできます。
ux=vy
uy=-vx
より、
uxx = ∂(ux)/∂x = ∂(vy)/∂x = vyx = vxy
です。

(1)
△lfl^2 = △(u^2+v^2)
= 2(uxux + u・uxx + vxvx + v・vxx + uyuy + u・uyy + vyvy + v・vyy)

uxux = uxvy
vxvx = -uyvx
uyuy = -uyvx
vyvy = uxvy
uxx = (ux)x = (vy)x = vxy
vxx = -uxy
uyy = -vxy
vyy = uxy
を使えば、4(uxvy-uyvx) = 4lf'l^2 がでます。

(2)
(1)とほぼ同じです。