複素解析学の問題 コーシー・リーマンの方程式

質問

関数f(z)=e^iz + sinz　が全平面で正則することをコーシー・リーマンの方程式を用いて証明する問題なのですが、まったくわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか？
お願いします(__

回答No.2

alice_44

f(z), g(z) が正則であるとき
f(z)+g(z), f(az), a f(z) も正則だから、
要するに exp(z) が正則である
ことを言えば終わる。
exp(x+yi) = exp(x)｛ cos(y)+sin(y)i ｝
から、コーシー・リーマンの式に持ち込めば ok.

回答No.1

rnakamra

z=x+yi(x,y∈R)として、f(z)をx,yで表す。
e^(iz)=e^(xi-y)=e^(-y)(cosx+isinx)
sin(z)={e^(iz)-e^(-iz)}/(2i) で後は上と同じように変形

後はf(z)の実部をu(x,y),虚部をv(x,y)としてコーシー・リーマンの式が成り立つこと確認すればよい。