数理統計学の問題です

質問

数理統計学の問題です
Xが確率密度関数f(x)をもつ連続型確率変数とする
a>0、ｂを実数の定数としたとき確率変数aX+bの密度関数を求めよ。
またXの4乗の密度関数をもとめよ。という問題です。

自分なりにといてみたんですが計算結果が不安なのでよろしくお願いします

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

X の変域が X>0 であるなら、X^4≦x ⇔ X≦x^(1/4) です。
よって、X^4 の累積分布関数は、∫[t≦x^(1/4)] f(t) dt。
確率密度関数は、(d/dx) ∫[t≦x^(1/4)] f(t) dt
= f(x^(1/4))・(1/4)x^(-3/4) となります。

X の変域が、例えば全実数であれば、
X^4≦x ⇔ -x^(1/4)≦X≦x^(1/4) ですから、
X^4 の累積分布関数は、∫[-x^(1/4)≦t≦x^(1/4)] f(t) dt
= ∫[t≦x^(1/4)] f(t) dt - ∫[t<-x^(1/4)] f(t) dt。
確率密度関数は、その導関数
f(x^(1/4))・(1/4)x^(-3/4) - f(-x^(1/4))・(-1/4)x^(-3/4)
になります。

お礼

なるほど！全実数のほうがいいみたいですね。
めちゃくちゃ参考になりました！ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

X が確率密度関数 f(x) をもつ　…というのは、
X≦x となる確率が ∫[t≦x] f(t) dt だということです。

aX+b≦x となる確率は、X≦(x-b)/a となる確率
すなわち ∫[t≦(x-b)/a] f(t) dt です。
aX+b の確率密度関数は、これの導関数ですから、
(d/dx) ∫[t≦(x-b)/a] f(t) dt = f( (x-b)/a ) /a です。

貴方の計算の (1-a) は、何処から出てきたものですか？

お礼

なるほど。途中計算で勘違いしていました。ありがとうございます。
X＾4の場合はｘ>0のときとというのは先ほど書いた通りのようになったんですが・・・いんですかね？

回答No.1

alice_44

自分なりにといてみた結果を、まず書こうよ。
すべては、それから。

aX+b のほうは、公式そのままで
考える部分が無い。
Xの4乗 のほうは、もとの X の変域が必要。

補足

一つ目は１/a*(1-a)*f(x-b/a)という結果になりました
二つ目は１/4x＾3/4*f(x＾1/4)+1/４ｘ＾3/4*f(x＾1/4)になりましたが・・・もとのXの変域というのが明記されてないんです。だいじょうぶでしょうか・・・