非ユークリッド幾何学を最初に選ぶ異星人を想定する。

質問

非ユークリッド幾何学を最初に選ぶ異星人を想定する。彼らにユークリッド幾何を説明せよ。

という問題があるのですが、ユークリッドの第五公準の違いで説明したいと思ったのですが、物理的に説明できないのかと疑問に感じております。

リーマン計量などを用い、うまく物理的に説明できないでしょうか？

回答No.4

ddtddtddt

#2です。#3さんへ。
　これはもしかして、自分に向けた応答かな？と気づきまして、書きました。

　だから「局所的には」です。つまり非常に小さい三角形を考える訳です。ここで局所的なスケールの度合いは？と問われれば、それは非ユークリッド空間の大域的な曲がり方の「激しさ」による、としか言えません(^^;)。局所的スケールの度合いは、その激しさによります。

　間違いだったら、ご指摘下さい（知りたいです）。

　質問者様へ。私信で使ってすいません。

回答No.3

Mokuzo100nenn

三角形の内角の和がちょうど180度になるような空間だけで成り立つ幾何学ですけど、、、。

回答No.2

ddtddtddt

リーマン空間は、局所的にはユークリッド空間（平らな空間）と考えられる点の近傍を、連続的に接続する事で得られはずです。つまりリーマン空間においても、一点の近傍の局所においてはユークリッド空間です。

　しかしこのままでは全空間でユークリッド的になるので、接続係数なるものが登場します。接続係数はいわば、ある点と隣の点との間での平行線のずれの度合いを表します。

　例えば全空間で一様に接続係数が1なら、全空間はユークリッド空間です。そうでない場合は、非ユークリッド空間の（かなり広い）族の一種となります。

　で、接続係数の選び方は結局、人間の勝手です。何故なら一つの接続係数を選んだ時には同時に、そうでない幾何学も可能だからです。全空間一様な接続係数を選択したなら、それはユークリッド幾何学を使いたかったからです。大抵の場合その理由は、「便利だから」という事になると思います。

　物理的には現実の宇宙が非ユークリッド的（曲がった空間）だという事は、相対論に基づく重力レンズ効果などで、ほぼ実証されています。

　「でも実用的には、ユークリッド幾何学で十分なんだよね」
　「何故ならリーマン空間は、局所的にはユークリッド的だから・・・」

・・・では駄目でしょうか？(^^;)。

回答No.1

雪中庵（@psytex）

たとえば極端な濃霧＆暴風で、視覚・聴覚を持たない
生物がいたとする。
運動と触覚の１次元的世界に暮していると考えられる。
視覚・聴覚といった情報性の高い先行感覚なしに、
空間感覚（予測的な五感の複合）は育ち得ない。
三次元空間なしに、ユークリッド幾何学は成立しない。
平行線定理を一次元に射影すれば、どのような幾何が
生じるのか分からないが、そうしたものだろう。
平行線の定理は、論理学における不完全性定理＝
公理系は不完全（その公理系で証明できない公理の
介在）である事によってのみ無矛盾（有限な値）で
あり得るという事の幾何学的射影であり、ゲーデル
はその過程で「論理」「公理」の普遍化をしている
事から、どのようなパラダイムであれ平行線の定理
的なものは射影しているはずだ。