平行線の公準について

質問

「ユークリッド幾何学の第５公準（平行線の公準）」 を認めることと 「この幾何学の舞台は平面である」 と定義することは互いに同等なのでしょうか。それとも完全には同一でないのでしょうか。

回答No.3

tmpname

まあよく考えるとそもそも第2公準に「有限の直線を連続的にまっすぐ延長すること」（が出来る）と書いてあるので、一部くっつくような可展面を考えるよりも、画用紙を波打ったように曲げたような可展面を考えた方がよかったですね。

可展面の定義からは円柱面も円錐面も可展面です。

回答No.2

tmpname

一言付け加えておくと、例えば球面はちぎったり伸ばしたりしないと平面にすることができず、この点が円柱面と違います。そして球面上では3角形の内角和が180°を超えます。

回答No.1

tmpname

例えば、画用紙の上に三角形を書くと、この内角の和は180°です。で、この画用紙を破らないように色々曲げることを考えます（捻ってちぎるのもダメです）
＊例えば円柱状にも出来ますし、
＊円錐の形にも出来ます
で、この時三角形の内角の和は180°のままです。というのもその曲面は再び「伸び縮みなく」元の平面に「展開する」（画用紙をもとに戻す）ことが出来るからです。

中学校の問題で円錐上の2点間の最短経路を求めるのに、「展開図」を考えてその展開図上で直線を引く、みたいな解法を習ったと思います。

で、こういった「伸び縮みせずに」平面に展開できるような曲面を「可展面」といいます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E5%B1%95%E9%9D%A2
可展面では平行線の公準が成立することが直感的に分かると思います

で、平行線の公準では可展面のこうした凸凹の具合とかの性質（外在的性質という用語を使うことがあります）を区別出来ません。

お礼

ご回答ありがとうございました。可展面について勉強してみます。ところで、紙の上に二本の平行線を書いてから円錐形にすると、場合によっては二本の線が交差することがあるように思います。円柱ではそのようなことはなさそうです。円錐と円柱とは別種の可展面ということになるのでしょうか。