高校～大学程度の数学の質問です

質問

勉強不足でレポートがわかりません。得意な方、よろしくおねがいします。

問い(1)　初期値X0=1のとし、漸化式Xk=1+1/Xk-1によってX5の値を求めよ。
※Xの次の数字0、k、k-1、5は1/4サイズです。
問い(2)　10進法の1.6875は2進法でどのように表せるか。
問い(3)　aX^2+bX+c=0の２解Ｘ1、Ｘ2を以下のようにして求める。
d=b^2-4ac、e=√ｄ、Ｘ1=(-b+e)/2a、Ｘ2=(-b-e)/2a、b＞0とする。
b^2が絶対値4acに比べて非常に大きいとき、計算過程で桁落ちは起きるか。
また起きる場合、d,X1,X2どの計算過程で起きるか。
問い(4)　ｆ(x)=x^4-4x^3-8x^2-4x+1のx=6での値をホーナー法で求めよ。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(1)
x[0] = 1, x[k] = 1 + 1/x[k-1]
x[1] = 1 + 1/1 = 2, x[2] = 1 + 1/2 = 3/2, x[3] = 1 + 1/(3/2) = 1 + 2/3 = 5/3
x[4] = 1 + 1/(5/3) = 1 + 3/5 = 8/5, x[5] = 1 + 1/(8/5) = 1 + 5/8 = 13/8
何か、分母と分子がフィボナッチ数列っぽい。

(2)
0.6875 = 0.5 + 0.1875
0.1875 = 0.125 + 0.0625
より、1.6875(10) = 1.1011(2)

(3)
dの計算時に桁落ちがあると思います。

(4)
f(x) = x^4 - 4x^3 - 8x^2 - 4x + 1
= x(x^3 - 4x^2 - 8x - 4) + 1
= x(x(x^2 - 4x - 8) - 4) + 1
= x(x(x(x - 4) - 8) - 4) + 1
より、
f(6) = 6(6(6(6- 4) - 8) - 4) + 1
= 6(6(12 - 8) - 4) + 1
= 6(24 - 4) + 1
= 120 + 1
= 121

回答No.2

f272

(1)(2)はすでに回答があるので省略する。
(3)
桁落ちは、値がほぼ等しい数値の減算を行ったときに生じます。この問題の場合はbとeがほぼ等しくなりますからX1を計算するときに桁落ちが生じます。これを回避するにはX2を先に求めておいてからX1=c/a/X2とします。
(4)
ホーナー法らしく書くと以下のようになる。
6_|_1__-4__-8__-4___1
_______6__12__24_120
___1___2___4__20_121