高校二年生数学の問題がわかりません。

質問

塾で加法定理を習ったのですが一回もといたことのない問題にあたってしまい
全く手がつけられない状態です。
誰か助けていただけると嬉しいです。

問）すべての実数xに対し、次の不等式が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ

-4≦sin2x+a(sinx+cosx)+a≦9

問）x^2+y^2=1のとき、21x^2+10xy-3y^2の最大値、最小値とそのときのxとyの値を求めよ

問）
I）不等式√2sinθ≦sinθ-cosθを解け、ただし、0≦θ＜2πとする
II）ａ，ｂは、０＜ａ＜ｂ＜２πを満たす実数とする。すべての実数ｘに対し、
　　ｃｏｓｘ＋ｃｏｓ（ｘ＋ａ）＋ｃｏｓ（ｘ＋ｂ）＝０が成り立つようなａ，ｂの値を求めよ

問題をといた過程も教えていただきたいです。
ここでつまづくと大変らしいのでぜひ教えていただきたいです。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞問）x^2+y^2=1のとき、21x^2+10xy-3y^2の最大値、最小値とそのときのxとyの値を求めよ
x^2+y^2=1だから、ｘ＝cosθ，ｙ＝sinθとおく。（0≦θ＜2π）
21x^2+10xy-3y^2
＝２１cos^2θ＋１０sinθcosθ－３sin^2θ
＝(2/12)（１＋cos２θ）＋５sin２θ－(3/2)（１－cos２θ）
＝５sin２θ＋１２cos２θ＋９
合成の公式より、
＝１３sin（２θ＋Ａ）＋９
cosＡ＝5/13，　sinＡ＝12/13　……（１）
－１≦sin（２θ＋Ａ）≦１より、
－１３≦１３sin（２θ＋Ａ）≦１３より、
－４≦１３sin（２θ＋Ａ）＋９≦２２
よって、最小値＝－４，最大値＝２２　

このときのｘ，ｙを加法定理により求めます。
１３sin（２θ＋Ａ）＋９＝－４のとき、
１３sin（２θ＋Ａ）＝－１３
sin（２θ＋Ａ）＝－１より、２θ＋Ａ＝3π/2だから、θ＝3π/4－Ａ/2
（１）より、２倍角の公式から、
cos^2（Ａ/2）＝(1/2)（１＋cosＡ）
＝(1/2)（１＋5/13）＝9/13　より、cos（Ａ/2）＝±３/√１３
同様にして、sin（Ａ/2）＝±２/√１３

ｘ＝cosθ＝cos（3π/4－Ａ/2）
＝cos（3π/4）cos（Ａ/2）＋sin（3π/4）sin（Ａ/2）
＝（－１／√２）・（±３/√１３）＋（１／√２）・（±２/√１３）
＝－（±１／√２６）
ｙ＝sinθ＝sin（3π/4－Ａ/2）とおいて、加法定理より
＝±５／√２６

１３sin（２θ＋Ａ）＋９＝２２のとき、
１３sin（２θ＋Ａ）＝１３
sin（２θ＋Ａ）＝１より、２θ＋Ａ＝π/2だから、θ＝π/4－Ａ/2
後は前と同様にして、
ｘ＝±５／√２６，　ｙ＝±１／√２６
よって、
ｘ＝－（±１／√２６），ｙ＝±５／√２６のとき、最小値－４
ｘ＝±５／√２６，　ｙ＝±１／√２６のとき、最大値２２

残りの部分も計算を確認してみて下さい。

お礼

ありがとうございました！
計算したらなぜか間違っちゃいました・・・笑
でも本当にありがとうございました！
すっごくわかりやすい解説で助かりました！

回答No.4

ferien

ANo.3です。　訂正です。
公式は、和積の公式を使っていました。

書き込みが長くなってしまうので、次回からは、このような問題は３問に分けて提示した方がいいと思います。

回答No.3

ferien

＞II）ａ，ｂは、０＜ａ＜ｂ＜２πを満たす実数とする。すべての実数ｘに対し、
＞ｃｏｓｘ＋ｃｏｓ（ｘ＋ａ）＋ｃｏｓ（ｘ＋ｂ）＝０が成り立つようなａ，ｂの値を求めよ

cosｘ＋cos（ｘ＋ｂ）＝-cos（ｘ＋ａ）とおくと、
左辺に合成の公式を使うと、
２cos(1/2)（２ｘ＋ｂ）・cos(1/2)（ｘ＋ｂ－ｘ）
＝２cos（ｘ＋ｂ/2）・cos（b/2）
よって、
２cos（ｂ/2）・cos（ｘ＋ｂ/2）＝－cos（ｘ＋ａ）
ｘに関係なく等式が成り立つには、
２cos（ｂ/2）＝－１，ｂ/2＝ａであれば良い、
cos（ｂ/2）＝－１／２
０＜ｂ/2＜πだから、ｂ／２＝２π／３より、ｂ＝４π／３
ａ＝ｂ/２＝２π／３
これらは、ｂ＞ａを満たすから、
よって、ａ＝２π／３，ｂ＝４π／３

どどうでしょうか？

お礼

正解でした！ほんとうにありがとうございました！
すごく助かりました・・・。
質問についてのアドバイスもいただきありがとうございます！
バラバラにすると解答をもらえない問題が出てしまうかもしれないと思ってしまったのでまとめさせていただきました！
次からは気をつけます。
本当にありがとうございました！

回答No.1

ferien

＞問）すべての実数xに対し、次の不等式が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ
＞-4≦sin2x+a(sinx+cosx)+a≦9

sinx+cosｘ＝ｔとおくと、
sin２ｘ＝２sinｘcosｘ
＝（sinｘ＋cosｘ）^2－（sin^2x+cos^2ｘ）
＝ｔ^2－１
合成の公式から、
sinx+cosｘ＝√２sin（ｘ＋π/4）だから、－１≦sin（ｘ＋π/4）≦１より、
－√２≦ｔ≦√２
sin2x+a(sinx+cosx)+a＝ｔ^2－１＋ａｔ＋ａ＝ｆ（ｔ）とおくと、
ｆ（ｔ）＝（ｔ^2＋ａｔ＋ａ^2/4）＋ａ－１－ａ^2/4
＝（ｔ＋ａ/2）^2＋ａ－１－ａ^2/4
軸ｔ＝－ａ/2　軸がｔの範囲内にあれば、
－√２≦－ａ/2≦√２より、－２√２≦ａ≦２√２　…（１）　
このとき、最小値＝ａ－１－ａ^2/4≧－４だから、
ａ^2－４ａ－１２≦０
（ａ－６）（ａ＋２）≦０
－２≦ａ≦６　…（２）
最大値は、ｆ（－√２）かｆ（√２）のどちらか、
ｆ（－√２）＝ｆ（√２）とおくと、この値が一致するのは、
２√２ａ＝０より、ａ＝０　だから、
ａ＜０のとき、最大値ｆ（－√２）＝１－√２ａ＋ａ≦９
これから、－８（√２＋１）≦ａ＜０　…（３）
ａ≧０のとき、最大値ｆ（√２）＝１＋√２ａ＋ａ≦９
これから、０≦ａ≦８（√２－１）…（４）
よって、（１）～（４）の共通部分は、
－２≦ａ≦２√２

問）
＞I）不等式√2sinθ≦sinθ-cosθを解け、ただし、0≦θ＜2πとする
√2sinθ－（sinθ-cosθ）
合成の公式から、
√２sinθ－√２sin（θ－π/4）
＝√２（sinθ－sin（θ－π/4））
和積の公式より、
＝√２・２sin(1/2)（θ－θ＋π/4）・cos(1/2)（２θ－π/4）
＝２√２・sin（π/8）・cos（θ－π/8）≦０
０＜π/8＜π/2より、sin（π/8）＞０だから、
cos（θ－π/8）≦０　
0≦θ＜2πより、－π/8≦θ－π/8＜２π－π/8だから、
不等式を満たすのは、π/2≦θ－π/8≦3π/2
よって、5π/8≦θ≦13π/8

上の２問だけやってみました。確かめてみて下さい。

お礼

ありがとうございました！
すごく助かりました。
答えを先生に貰いに行きましたが合っていました。
本当に助かりました。ここまで詳しく書いていただけると私でもしっかり理解できました。
これから復習して定着させようと思います！