高２数学 図形と方程式について

質問

問題でわからないところがあるので
教えてください。

問題→円ｘ２乗＋ｙ２乗＝２５と
　　　　直線３ｘ－４ｙ＋ｋ＝０が接するとき、
　　　　定数ｋの値を求めよ。

私は、
直線の方程式をｙ＝の形に直してから代入法を
使って正解ｋ＝±２５を導きました。

他に別の方法で
距離ｄを用いて答えを出す方法もあると知りました。

しかし　そのようにすると
計算過程がわかりません・・・

どなたか
教えてください。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>距離ｄを用いて答えを出す方法
直線:3x-4y+k=0
この直線が、原点(0,0)を中心、半径5の
円：x^2+y^2=5^2
に接する時は、円の中心(0,0)から直線までの距離dが円の半径5に等しい時であるから
原点と直線の距離の公式を適用して
　d=|k|/√{(3)^2+(-4)^2}=|k|/5=5
　|k|=25 ∴k=±25 ←（答え）

（注）接線は２本存在するからk=25とk=-25の2通りが存在します。
円と直線3x-4y=25と3x-4y=-25を描いてみると直線が2本とも円に接することが確認出来るでしょう。

お礼

わかりやすい回答、ありがとうございます！

回答No.2

HIROWI02

塾講師をしているものです。

　　　　　～（別解)～
円の中心は原点であり、原点と直線3x-4y+k=0の距離ｄは

d=|ｋ|/√{3^2+(-4)^2}

円と直線が接するのはr=d

よって

5=k/5

ゆえに　ｋ＝25

かなり簡単に書いたつもりです。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

spring135

円ｘ２乗＋ｙ２乗＝２５と
　　　　直線３ｘ－４ｙ＋ｋ＝０が接するとき

直線と円の中心との距離は円の半径に等しくなります。

直線ax+by+c=0と点(p,q)との距離dは公式（教科書に出ています）から

d=｜ap+bq+c|/√(a^2+b^2)

今の場合

a=3, b=-4, c=k, d=5, p=q=0

これより

ｋ＝25

QED

お礼

迅速な回答、ありがとうございます！