不等式の証明問題

質問

ｘ＞０、ｙ＞０、ｘ＋ｙ＝１のとき（１＋１／ｘ）（１＋１／ｙ）≧９が成り立つことを示せという問題がどうも解けません。相加≧相乗をつかうのかなという感じがしますが、きちんと証明できないんです。どなたか教えてください。

回答No.1

tkm · ベストアンサー

（右辺）-（左辺）が0以上になるようにすればいい
との仮定ですすめていきます

掛け算を展開して（右辺）-（左辺）を行うと

　1 + 1/x + 1/y + 1/xy - 9
=(x+y)/xy + 1/xy - 8

ここでｘ+ｙ＝1より

=1/xy + 1/xy - 8
=2/xy - 8

となります。ここでxとyにtaka0077の言う
相加平均≧相乗平均を使うと

(x+y)/2 ≧ √(xy)
　　1/2 ≧ √(xy)
　　1/4 ≧ xy　　　　（2乗します）
　　　4 ≦ 1/xy　　　（逆数をとります）
　　　8 ≦ 2/xy

となり2/xyは8以上ということが分かります
これを最初の式に適用しますと

（右辺）-（左辺）= 2/xy - 8 ≧ 0

となり

（右辺）　≧　（左辺）

が証明されました
よって与式が成り立ちます

回答No.2

tkm

ごめんなさい

（左辺）-（右辺）でした（汗）
あとはあってると思います

お礼

ありがとうございました。（左辺）-（右辺）をして、ｘ＋ｙ＝１を使ってそれから相加≧相乗でしたか。大変よく分かりました。本当にありがとうございました。