数学IIIの問題

質問

極限の問題です。 助けてください 解説もお願いします
次の数列の極限を教えてください
(1)｛(-3)^n｝ (2) 2/1,5/2,8/3・・・,(3n-1)/n・・・

次の無限等比級数の和を教えてください
(1) 1+1/3+1/9+1/27+・・・
(2) 16/27-4/9+1/3-1/4+・・・

回答No.1

bran111

次の数列の極限を教えてください
(1)lim(n→∞){(-3)^n｝
ｎが1変化するごとに偶数から奇数へ、奇数から偶数へと変化し(-3)^nは符号が変化するとともに絶対値が大きくなります。このようなっ数列は極限値を持ちません。

(2) 2/1,5/2,8/3・・・,(3n-1)/n・・・
lim(n→∞){(3n-1)/n｝＝lim(n→∞){(3-1/n)｝=3

次の無限等比級数の和を教えてください
(1) 1+1/3+1/9+1/27+・・・
a(n)=1/3^(n-1)=(1/3)^(n-1)
S=lim(n→∞)Σ(k=1,n)a(k)=lim(n→∞)Σ(k=1,n)[(1/3)^(n-1)]
=lim(n→∞)[(1-(1/3)^n)/(1-1/3)=1/(2/3)=3/2

(2) 16/27-4/9+1/3-1/4+・・・
a(n)=(-1)^(n-1)×16(1/4)^(n-1)/27(1/3)^(n-1)=(16/27)(-3/4)^(n-1)
S=lim(n→∞)Σ(k=1,n)a(k)=(16/27)lim(n→∞)Σ(k=1,n)[(-3/4)^(n-1)]
=(16/27)lim(n→∞)[(1-(-3/4)^n]/[1-(-3/4)]
=(16/27)[1/(7/4)]=64/189