数列について

質問

１／ｎの無限級数は発散しますよね！？それはわかるんですけどどうやって発散することを示したらいいんですか？
あと、１／（ｎの２乗）は発散しますか？それとも収束？どうしてそうなるのかも示してください。
お願いします！

回答No.4

F0ur1er · ベストアンサー

1/nについては＃１にあるので、1/(n^2)について
参考程度に述べさせていただきます。

まずΣ{n=1 ～ ∞} 1/(n^2)は収束します。
証明には次の命題を使います。

---定理（比較判定法）の系---------------
a_n > 0 , b_n > 0 ,
(a_{n+1} / a_n) ≦ (b_{n+1} / b_n ) (n=1,2,3,…)
とする。このとき
(ⅰ) Σ{n=1 ～ ∞} b_n が収束する
⇒Σ{n=1 ～ ∞} a_n が収束する
(ⅱ) Σ{n=1 ～ ∞} a_n が発散する
⇒Σ{n=1 ～ ∞} b_n が発散する
----------------------------------------

これを用いると
まず、a_n = 1/(n^2) , b_n = 1/{n(n+1)} , n=1,2,…
とすると、
b_{n+1} / b_n - a_{n+1} / a_n
= n/(n+2) - (n^2)/(n+1)^2
= n/{(n+2)(n+1)^2} > 0 (n=1,2,3,…)
従って、Σ{n=1 ～ ∞} 1/{n(n+1)} = 1
であるから、Σ{n=1 ～ ∞} 1/(n^2) は収束する．

という感じです。そして
Σ{n=1 ～ ∞} 1/(n^2) = (π^2)/6
を求めるのは難しいです．
ζ(2) = Σ{n=1 ～ ∞} 1/(n^2)
とおいて計算するようです。これはゼータ関数と
呼ばれています。

長々と書きましたが、かえって混乱させてしまったらごめんなさい。

お礼

ありがとうございます！！とても助かりました。
実は、Σ{n=1 ～ ∞} 1/{n(n+1)} = 1 であることを使って説明しなければいけない問題だったのですが、質問内容には書かなかったんです。ところが、質問内容には書かなかったのに関わらずこのようなお答えをしていただき、大変助かりました。経験者の方ということですが、すっかり同じ問題を解いたことがあるのでしょうか。
ありがとうございました！

回答No.3

oshiete_goo

＞１／（ｎの２乗）は発散しますか？それとも収束？

単調増加列なので，上に有界であることを示せばよい．
平凡に積分で評価すれば
Σ_{k=1～Ｎ}1/k^2
＝１＋Σ_{k=２～Ｎ}1/k^2
≦１＋∫_{1～Ｎ}(1/x^2)dx　（実は等号はN＞１では不成立）
＝１＋[－1/x]_{1，N}
＝１－(１／N)＋1
＝２－１／N　→２　(N→＋∞)
よって
Σ_{k=1～＋∞}1/n^2≦２　より収束．

回答No.2

kony0

Σ(n=1,2,...)1/n > ∫(1～∞)1/x dx
がグラフから見て取れればよいでしょう。
∫(1～∞) 1/x dx = Σ(n=1,2,...) ∫(n～n+1) 1/x dx
< Σ(n=1,2,...) ∫(n～n+1) 1/n dx = Σ(n=1,2,...)1/n

２つめのは、1/nより1/n^2のほうが０への収束がはやいから収束します。・・・なんとかの定理みたいなのがありますよね？

回答No.1

ONEONE

Σ[n=1～∞]1／n^2＝π^2／６

だそうです。
ただこれを示すのは難しいそうなので高校レベルじゃないのではないでしょうか。

1／nの２^ｎまでの和＝１＋１／２＋１／３＋・・・・・＋＋１／２^n
＞１＋１／２＋（１／４＋１／４）＋（１／８＋１／８＋１／８＋１／８＋１／８）＋・・・・＋（１／２^n＋１／２^n　＋・・・・・＋　１／２^n）
＝１＋１／２＋１／２＋１／２・・・・・＋１／２＝１＋ｎ／２→＋∞

お礼

ありがとうございます！！とても助かりました。
参考にさせていただきます。