線形代数学（固有ベクトルの内積など）
２以上の整数ｎに対して、ｎ次元実ベクトル空間を考える。この空間のベクトルは列ベクトルで表されているものとし、２つの列ベクトルx,y
x=(x1,x2,...,xn), y=(y1,y2,...,yn) ←列ベクトルだから本当は縦
に対して、ベクトルｘとｙの内積、ｘのノルムが、それぞれ、
<x,y>=Σ(i=1→n)xiyi, ||x||=√<x,x> （ノルムの式のxは全てベクトル）
で与えられているものとする。次に、Ａをｎ行ｎ列のある与えられた対称行列とし、Ａにｎ個の相異なる実固有値λi(i=1,2,...,n）が存在する場合を考える。また、それらの固有値は、λ1>λ2>...>λnを満たしているものとする。そして、固有値λiに対応する固有ベクトルをΦiで記す。問題の仮定から、
ＡΦi＝λiΦi
が成立する。このとき、次の問いに答えよ。
1.任意のベクトルx,yに対して<Ax,y>=<x,Ay>が成立することを、ベクトルと行列の成分を使って計算することによって示せ。
2.相異なる固有ベクトルが直交すること、すなわち、１からｎまでの相異なる任意の整数i,jに対して、<Φi,Φj>=0が成立することを示せ。
一般性を失うことなく、固有ベクトルΦiを、||Φi||=1(i=1,2,...,n)が満たされるように選ぶことができる。従って、上記の問２の結果から、Φ1,Φ2,...,Φnを正規直交基底に選ぶことができる。以下の問いでは、Φ1,Φ2,...,Φnは正規直交基底になっているものとする。
3.任意のベクトルｙに対して、Ay=Σ(i=1→n)λi<y,Φi>Φiが成立することを示せ。
4.xをノルムが１の任意のベクトルとする。このｘを実数の組β1,β2,...,βnを使って、x=Σ(i=1→n)βiΦiと展開するとき、β1,β2,...,βnが満たすべき必要十分条件を求めよ。
5.上記の問４におけるｘに対して、||Ax||^2をλ1,λ2,...,λnとβ1,β2,...,βnのみで表せ。
6.ノルム１のベクトルxに対する||Ax||の最大値を、|λ1|>|λn|の場合、|λ1|=|λn|の場合、|λ1|<|λn|の場合に、それぞれ求めよ。
なお、i,j,nはx,y,λ,Φ,βなどに下付ででついている。
1.の問題は解けました。
2.の問題で苦戦してます。。。
固有ベクトルが数の場合は考えやすいのですが、文字で一般的な
話になってくると、どうしても苦手です。
困ってます。
どなたか、教えてください。
お願いします。。。
3～6の問題もぜひヨロシクお願いしますm(_ _)m
お礼
あ、確かに rが1とnの範囲内にあるという前提で考えると納得がいきますね。 暫く悩んでいたのですが、頂いたご回答のおかげでようやく理解できました！ ありがとうございます！