偏微分したいんですが・・・

質問

最小二乗法のレポートをしていて偏微分の計算でうまくいきません
　　　　　m
J（ｘ）＝Σ (Zi-hix)^2
　　　　　i=1
Zmiが測定点、xiが変量点、真値ｙi=hixです

　ただし　hm=[am1 am2 ・・・amn]
x=[x1 x2 ・・・xn]t

∂J/∂ｘ１＝０、・・・・、∂J/∂xn＝０
よりｘ１、・・・・ｘnを求めるのですがm,nの値がわかっていれば分解してとくことはできると思うのですがm,nをつかってどう表せばいいかわかりません。

数日前に最小二乗法のレポートというタイトルで「その他の理系の学問」というところに書き込ませてもらいましたが問題だけ書いたということもあり返事がきませんでした・・・。あらためてここで質問させてください。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

あのですね、記号が余りにも分かりにくくてですね、回答する気に誰もならないのだと思います。（これが回答が来ない理由その１。）
x=[x1 x2 ・・・xn]t
このtってのはまさか転置の意味でしょうか？（普通はそうは読みませんけど。）
添え字と掛け算がごっちゃになっているのもわかりにくさの原因のようです。添え字を[]に入れて表すと、
h[i]x = Σ{n=1,2,...,N}(a[i,n] x[n])　　（ここに{}内はΣの和の範囲を示しています）
であって、
J(x) = Σ{i=1,2,...,m}(Z[i] - Σ{n=1,2,...,n}(a[i,n] x[n]))^2
ということかな？
さらにxの各要素は独立のパラメータとみなしてよいのでしょうか。

だとしますと、これは典型的な線形最小二乗法であり、ヤコビアン行列aが具体的に与えられている。これ以上簡単な問題はないというぐらいめちゃめちゃ基本的な話です。こんなことは、絶対教科書に書いてある筈なんです。（これが回答が来ない理由その２。）

ε[i] =Σ{n=1,2,...,N}((a[i,n] x[n])-Z[i])
とおくと、
J(x) = Σ{i=1,2,...,m}(ε[i] )^2
従って、
∂J/∂x[k] = Σ{i=1,2,...,m}(2ε[i] (∂ε[i] /∂x[k]))
ですね。そして
∂ε[i] /∂x[k] = a[i,k]
です。以上から、
∂J/∂x[k] = 0 (k=1,2,...)
が行列でどう表されるかはもうお分かりかと思います。

　レポートだったらご自分でおやりなさいな。勉強が目的の筈でしょう？余りにも頼りすぎで、考えた形跡が認められない。（これが回答が来ない理由その３。）