線形代数学（固有ベクトルの内積など）

質問

２以上の整数ｎに対して、ｎ次元実ベクトル空間を考える。この空間のベクトルは列ベクトルで表されているものとし、２つの列ベクトルx,y
x=(x1,x2,...,xn), y=(y1,y2,...,yn) 　←列ベクトルだから本当は縦
に対して、ベクトルｘとｙの内積、ｘのノルムが、それぞれ、
<x,y>=Σ(i=1→n)xiyi, ||x||=√<x,x> （ノルムの式のxは全てベクトル）
で与えられているものとする。次に、Ａをｎ行ｎ列のある与えられた対称行列とし、Ａにｎ個の相異なる実固有値λi(i=1,2,...,n）が存在する場合を考える。また、それらの固有値は、λ1>λ2>...>λnを満たしているものとする。そして、固有値λiに対応する固有ベクトルをΦiで記す。問題の仮定から、
ＡΦi＝λiΦi
が成立する。このとき、次の問いに答えよ。

1.任意のベクトルx,yに対して<Ax,y>=<x,Ay>が成立することを、ベクトルと行列の成分を使って計算することによって示せ。

2.相異なる固有ベクトルが直交すること、すなわち、１からｎまでの相異なる任意の整数i,jに対して、<Φi,Φj>=0が成立することを示せ。

一般性を失うことなく、固有ベクトルΦiを、||Φi||=1(i=1,2,...,n)が満たされるように選ぶことができる。従って、上記の問２の結果から、Φ1,Φ2,...,Φnを正規直交基底に選ぶことができる。以下の問いでは、Φ1,Φ2,...,Φnは正規直交基底になっているものとする。

3.任意のベクトルｙに対して、Ay=Σ(i=1→n)λi<y,Φi>Φiが成立することを示せ。

4.xをノルムが１の任意のベクトルとする。このｘを実数の組β1,β2,...,βnを使って、x=Σ(i=1→n)βiΦiと展開するとき、β1,β2,...,βnが満たすべき必要十分条件を求めよ。

5.上記の問４におけるｘに対して、||Ax||^2をλ1,λ2,...,λnとβ1,β2,...,βnのみで表せ。

6.ノルム１のベクトルxに対する||Ax||の最大値を、|λ1|>|λn|の場合、|λ1|=|λn|の場合、|λ1|<|λn|の場合に、それぞれ求めよ。

なお、i,j,nはx,y,λ,Φ,βなどに下付ででついている。

1.の問題は解けました。

2.の問題で苦戦してます。。。

固有ベクトルが数の場合は考えやすいのですが、文字で一般的な
話になってくると、どうしても苦手です。

困ってます。

どなたか、教えてください。

お願いします。。。

3～6の問題もぜひヨロシクお願いしますm(_ _)m

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

ん～, この辺だと証明も覚えちゃってるなぁ (苦笑) 書いちゃうとしょうがないので方針だけ:
2: これ, 1 がヒントです. <AΦi, Φj> = <Φi, AΦj> から, Φi, Φj が固有ベクトルであることを使ってください. λi ≠ λj であることにも注意.
3: Φ1, Φ2, ..., Φn が正規直交基底なので, y をこの基底で表現すればほぼ完了.
4: x = Σβi Φi を使って <x, x> = ||x||^2 = 1 を展開してください. 正規直交基底だから計算は楽.
5: 3 と 4 を組合せる.
6: βi に対する条件が 4 から出るので, この条件のもとで最大化することになります. 3通りで分けてあるけど, 2通りでいいような気がする.

補足

2.と3.はおかげさまで解けました。
ありがとうございました。

で、4.が解けません。
すみません・・・もう少しヒントを・・・