線型代数

質問

実線型空間R^4におけるv1,v2,v3,v4で張られる部分空間をWとします。また、
　v1=t(1,1,-2,0),v2=t(1,-1,0,-2),v3=t(-2,1,1,3),v4=t(-1,2,-1,3)
とします。ここで、Wの基底をv1,v2とすると、直交補空間W’の基底は、
　u1=t(1,1,1,0),u2=1,-1,0,1) dimW’=2
となります。

以上の設定の下で、次の問題がよくわからないので質問させていただきます。
(1)2×4行列Ａで、KerF=Wとなるものを１つ求める。
(2)4×2行列Bで、ImF=W’となるものを１つ求める。
という問題です。ここで、線型写像fについては、m×n行列Xに対して、
f；R^n→R^mとし、f(v)=Xv（ｖはR^nの元）という写像です。
求める行列を具体的に文字で置いて計算してみたのですが、うまくいきません。
（１）については、まず求める行列Ａを
A=|a1 a2 a3 a4|
|b1 b2 b3 b4|
と置いて、KerF=Wより、v1をとってAv1=0というように計算していこうと考えましたが、１行と２行の係数が同じになってしまいます。（２）についても同様の考え方で計算してみたのですが、この場合も同じような結果になってしまいます。どのように考えていったらいいのでしょうか？ご教授お願いします。
以上読みづらい文章となってしまいましたが、よろしくお願いします。

回答No.1

Jyaikosan

(1)
2×4行列は4次元の行ベクトルを二つならべたものとみなすことができます。

行列Ａを構成する二つのベクトルをa1とa2とします。

行列ＡにR^4の列ベクトルvを作用させてできたR^2の列ベクトルの第1成分は
a1とvの内積、第2成分はa2とvの内積となることはよいでしょうか？

KerF=WとなるということはvをWの元としたときに、Avの二つの成分が0になることです。
つまりa1とa2はWの任意の元vと直交しているわけです。

直交補空間W’の基底ベクトルu1とu2は上のa1とa2の条件を満たしていますから
A=
(1,1,1,0)
(1,-1,0,1)
と計算しなくても求めることができます。

Aの表現はこれだけではなくて、a1とa2として直交補空間W’の任意の二つの一次独立な
ベクトルを選んだものも条件を満たします。

(2)
ここでの写像は(1)とは逆にR^2からR^4への写像ですね？

R^2の基底を e1=t(1,0) e2=t(0,1) とします。

直交補空間W’もR^2と同じく2次元なので

Be1=u1 Be2=u2

を満たすように行列BをとればImF=W’となります。

4×2行列は4次元列ベクトルを二つ並べたものとみなすことができます。

簡単に確かめることができますが、Be1は行列Bの左側の列ベクトル、
Be2は右側の列ベクトルになっています。
それらがu1とu2に等しいということから、Bはu1とu2を縦に二つ並べたもの
であることがわかります。つまり
B=
(1,1)
(1,-1)
(1,0)
(0,1)
です。条件をみたすBの表現も一意ではなくて、Aのときと同様です。

お礼

ご返答ありがとうございます。
すごくわかりやすい説明で、勉強になりました。この回答を参考にさせていただき、再考したいと思います。どうもありがとうございました。