代数学 包含関係の意図と証明

質問

毎度お世話になっております。
前回教えていただいたところに関しては大変助かりました。ひいこら言いながら教科書を読んでいるわけですが、またわからないところが出てきました。またお願いします。
今度はアーベル群です。有限アーベル群に関して巡回群に直積分解するために、次の補題二つを証明しようとしています。
15.2　有限アーベル群のAの元の最大位数をeとすれば、Aの任意の元の位数はeの約数である。
15.3　aを有限アーベル群Aの最大位数の元とすれば、<a>はAの直積因子である。
で、次が15.3の証明なのですが、<a>∩<c>=1となる、位数が素数pの元cを探したあとで、cを使って剰余群を作りそこから数学的帰納法で証明しようとしています。剰余群を作るところから。
A^*＝A/<c>において、x∈Aを含む剰余類をx^*で表す(ということは、集合のアスタリスクと元のアスタリスクは微妙に使用方法が違います)<x^*>=<x><c>/<c>なので、これは<x>/<x>∩<c>と同型。(同型定理より)
従って上の式で位数を取ると、O(x^*)|O(x)が導ける。　特にaについてはO(a^*)=O(a)=e　a^*はA^*の最大位数の元。A^*に帰納法の仮定を適用して、A^*=<a^*>×H^*と直積に分解される。ここでHは<c>を含む部分群で、H^*={h^*|h∈H}である。この時<a>∩H⊂<c>，したがって<a>∩H=<c>∩<a>∩H=1となり，<a>H=<a>×H.これとAの位数を比較してA=<a>×Hを得る。
このうち、
この時<a>∩H⊂<c>，
とあるのですが、ここの理由がわかりません。多分*に関する事項を利用して示すのでしょうが、どうにもこうにも。今日二人で頭を絞ったんですが結局わかりませんでした。なぜこれが真だと導かれたのか説明お願いします。わからないところあれば補足します。
なにとぞよろしくお願いします。

回答No.2

yoikagari · ベストアンサー

1を訂正しておきます。

<a>∩Hの元yをとります。
y^*∈<a^*>∩H^*=1となります。
よって、y^*はA^*の単位元となる。
<y^*>=<y><c>/<c>=<c>となりますから
当然y∈<c>となります。

お礼

y^*においてもう一度巡回群を取るところが味噌でしょうか。
直積分解の条件も上手く利用するんですね。あぁ、思いつかなんだ。
どうもありがとうございます。すっきりいたしました。
これからもお願いします。

回答No.1

yoikagari

<a>∩Hの元yをとります。
y^*∈<a^*>∩H^*=1となります。
よって、y^*はA^*の単位元となる。
y^*=<y^*>=<y><c>/<c>=<c>となりますから
当然y∈<c>となります。