1÷無限＝0ということは数（大きさ）は幻想？

質問

1÷無限＝0ということは、

つまり、1の中に無限に入るのは0しかないので、1は無限の0の集まりで出来ていることになります（また、1以外のどんなに大きな数でも無限で割れば0になり例外はありません）、つまり、どんな数であっても無限で割れば、数を『構成する最小数』は0ということになります、つまり、どんな数も0が集まって（足し合わせて）出来ていることになります。

しかし、『0』はいくら足し合わせても掛け合わせても1にはなりません（大きさを持ちませんし、どんな数にもなりません）、

とすると、唯一0だけは存在しても、数（大きさ）なんてものは本当は存在しないものなのでしょうか？

回答No.2

noname#158634 · ベストアンサー

なんかもうどこから説明すればいいのか。

(1)＞1の中に無限に入るのは0しかないので
ここですでにおかしい。
「1÷∞＝0」は「1を∞で割ると0.00000…であり、割る数が∞であるからこの先0以外の数字が出現することはない。だから0と等しい」という意味です。「1の中に無限に入るのは0しかないので」は「1÷0=∞」という、数学上のやっちゃいけないことの一つをやっています。0除算は答えを一意にできないのでやってはいけないというのが数学の決まり事です。
なので
(2)＞1は無限の0の集まりで出来ていることになります
ここに至ることはありません。
(3)＞1以外のどんなに大きな数でも無限で割れば0になり例外はありません
これはあっています。1だろうがなんだろうが∞で割れば答えは0.0000000=0ということになります。
(4)＞数を『構成する最小数』は0ということになります、つまり、どんな数も0が集まって（足し合わせて）出来ていることになります。
「数を『構成する最小数』」なんてものはない。(1)と(2)の誤解からくる思い違いです。
(5)＞しかし、『0』はいくら足し合わせても掛け合わせても1にはなりません（大きさを持ちませんし、どんな数にもなりません）、
これは正しいです。0は無ですからそれ自身を何倍しようが0のまま。

(6)＞とすると、唯一0だけは存在しても、数（大きさ）なんてものは本当は存在しないものなのでしょうか？
(1)と(2)の誤解が解ければ、この結論がそもそも導きえないということが分かると思います。
0は無ですから「大きさが存在しない」はまあある意味で合っていますが、(1)(2)(4)という誤解から実際と一致する結論を導いたからと言って、(1)(2)(4)が正しいことにはなりません。いわば状況証拠に合致するからといって真犯人ではない人物を逮捕するようなものです。

(1)が誤解であることが分かればあとは自明だと思いますが、いかがでしょうか。

お礼

ご回答して頂きありがとうございました！

詳しくご説明頂きありがとうございました、勉強になりました！

回答No.5

stomachman

「1÷無限大」という計算を許すような計算の体系を考えるのなら，それは普通に言う数の計算ではないのだから，別の体系である．いわば「数のようなもの」の体系です．
　その「数のようなもの」の体系において，ご質問の計算が

1÷無限大 = 0

になったのでは（ご明察の通り）辻褄が合わなくなります．答は0ではなく，

1÷無限大 = 無限小

でなくてはならない．さらに，この体系において「無限大」はひとつの「数のようなもの」ではありません．そうではなくて「無限大」という性質を持つ「数のようなもの」が無限個存在する，と考えなくては辻褄が合わなくなります．だから，

1÷無限大 = 無限小

という書き方は実は不適切であって，

「Xが無限大であるとき， (1÷X) は無限小である」

という風に扱わねばなりません．なぜなら，そう考えないと，たとえば

(x÷X)×X = x

が成り立たなくなっちゃって，「数のようなもの」の性質が（普通の）数の性質とかけ離れ過ぎてしまうからです．

　ところで，既に広く応用されている「超準解析学（非標準的解析学）」という数学は，まさしくこの「数のようなもの」についての数学のひとつなんです． 比較的易しい教科書もありますが, それでも大学初年級ぐらいの数学をきっちり学んでおかないと，なかなかすらすら分かるという訳には行きません.

お礼

ご回答して頂きありがとうございました！

無限は数のようなものということですね。

超準解析学というのが数のようなものを扱う数学なんですね、ご紹介ありがとうございました！

勉強になりました！

回答No.4

alice_44

意外に思う人もいるかもしれないが、
数学には「数」という言葉の定義がない。
そのときの文脈で、計算の対象とするものを
「数」と呼んでいるのが実情だ。
それは、場面により、実数であったり、
複素数であったり、有理数であったりする。
代数的数だの、ガウス整数だの、四元数だの、
バリエーションにはきりがないし、
「数」とは自然数のことだという人もいるから、
加減乗除が全てできるとも限らない。
だから、∞ を含む「数」があってもかまわない
のだが、慣習上 ∞ は数とは考えないから、
∞ を含むような新しい「数」を扱いたければ、
それを定義するのは提案者の仕事となる。
数学は自由だが、自由には責任がともなう。
∞ と他の数との演算の結果がどうなるのかは、
貴方が、矛盾なく定めてやらなくてはならない。
質問文を見ると、何やら不都合が生じている。
貴方の考えた ∞ を含む「数」は、
上手くいっていないのだろう。
幻想だったと言えるかもしれない。
それと、∞ を含まない通常の「数」が幻想かは、
また別の話である。

お礼

ご回答して頂きありがとうございました！

勉強になりました！

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

先の方も書かれているとおり、∞は数として扱えません。
いきなり「1÷無限＝0」という式ではなく、
lim[n→∞] 1/n＝ 0

という極限の式として与えられるということです。
あくまでも極限ですから、決して 0になるわけではありません。

過去にあった同様の質問を参考としておきます。
なにか助けになれば幸いです。
http://okwave.jp/qa/q6392317.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q6392317.html

お礼

ご回答して頂きありがとうございました！

参考にさせて頂きました。
勉強になりました！

回答No.1

kabaokaba

>1÷無限＝0ということは、

そもそもこれが間違い．
無限は数ではないから，そもそも四則が定義されていない．
だからそれ以下の考察はすべて意味がない

ふたつだけ．
まず
今の数学を構築してる根本原理の中には
何か一つものが存在すれば，
それから自然数を構築する手段が組み込まれているから
0があればまあ自然数もあるんでしょうね．

つぎに
結論におかしなものがでてきたなら
それ以前の推論かそもそもの前提がおかしいのです．
＃これも数学の根本原理に組み込まれてるんだな・・・

=============
けど，こういうことをいいだす人は
数学というものを激しく誤解してる人が多くて
さらに執着する人が多いので
きっと，盛り上がるでしょうね．

お礼

ご回答して頂きありがとうございました！

勉強になりました！