1の中に無限の数は存在する？しない？

質問

1の中に無限の数が存在するのか？しないのか？

ということを考えるため

1÷無限＝？

つまり、1を無限で割り算することを考えます、つまり1を無限に割り続けるということです。

すると次の二つの推論にたどりつきました。

しかし、どちらも正しいと思える次の、(1)の主張と(2)の主張は矛盾してしまうのです。

(1)1を無限で割り算することを考えますが、割り算という演算の性質上、仮にも無限の演算が完了しようと、しなかろうと、0になることは絶対にないと推論できます（0．0000000………とゼロが無限に続き、ほぼゼロと言えますが最後尾の数はどんなに小さかろうと、大きさを持つので絶対にゼロではありませんので、完璧な『0』ではありません、完璧な『0』でない以上は大きさを持つ数ですので割り算が無限に可能です）。

ということは、1を無限で無限に割り続けても0になることはないと保証されているので、無限に割り続けることが可能になります、
よって、1の中には無限の数が存在できると言えます。

(2)割り算という演算の性質上、無限の演算が仮にも完了しようと、しなかろうと、0になることは絶対ないと推論できます。

ということは、1を無限で無限に割り続けても0になることはありません、無限の演算が完了できなくとも絶対に0にならないのは既に決まっています、1を無限に割り続けてどんなに小さな小さな数になろうと、完全に0にならない以上は、1の中に無限に入ることの出来る数は存在しないと言えます。

上記の(1)と(2)をまとめますと、

(1)は、割り算を無限に続けても、割り算の性質上は0になって割り算が終わることがないので、1を無限に割り続けることが可能なので、1の中に無限の数が存在出来るという主張です。

(2)は、割り算を無限に続けても、割り算の性質上は0になって割り算が終わることがないので、つまり、1を無限に割り続けても0にならないということは、無限に割り続けた数がどんなに小さくとも、0でないので、大きさを持つので、大きさをもつ限りは、1の中に無限に入ることができる数は存在しないという主張です。

(1)は、1の中に無限の数が存在すると主張しますが、
(2)は、1の中に無限に入ることの出来る数は存在しないと主張します。

つまり、(1)と(2)どちらも正しい主張が両立できず矛盾してしまうのです。

1の中に無限の数は存在出来るのか、出来ないのかどちらが正しいのでしょうか？

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

0.999999999・・・= 1
数学の基本のひとつです。

紙を半分に切ると、面積が半分になります。
また半分に切ると、面積はさらに半分になります。
またまた半分に切ると、さらに半分になります。
いつまでやってもゼロにはなりません。
無限個の紙の破片を集めても、面積の総和は１です。

「単調増加のグラフは必ず無限大に拡散する」とは限らない。

つまり、(2)の理論は数学的に間違っているのです。

お礼

ご回答して頂きありがとうございました！

補足

＞0.999999999・・・=１
数学の基本のひとつです。

確かに数学の基本ですが

個人的には、0.9999……というのはこの先どこまで遡っても9しかでてこないことが絶対的に保証されているので、9しか絶対にでてこないということは『1』になることは絶対にないことも同時に保証されるので、絶対的な『1』とは異なると考えられます。

＞「単調増加のグラフは必ず無限大に拡散する」とは限らない

つまり(1)の主張のように、1の中に無限の0.00000……と無限に続く限りなく小さな数が無限に存在するということですね、

しかし、1を「たとえ無限に割り算」しても0になり割り算が終わらないことは、割り算という演算の性質上は、無限回の演算をしなくとも決定的です、

つまり、『100％』0にはならないのです、

しかし、1の中に無限に入ることのできる数は0しか存在しないことも自明なのです。

やはり、矛盾としか言いようがない気がします。

回答No.4

noname#152422

質問文での表現の仕方に問題があるものの、「超準解析」でググッてみるとあなたの興味を引くものが見つかるかもしれない。

お礼

教えて頂きありがとうございました！

回答No.3

noname#158634

前回も言ったよね？

(1)
＞割り算という演算の性質上、仮にも無限の演算が完了しようと、しなかろうと、0になることは絶対にないと推論できます
アウトポイント1：無限の演算は「完了」しない。なぜなら無限であるから。つまりどこまで行っても0以外は出現しない。繰り返します。無限だから。
＞（0．0000000………とゼロが無限に続き、ほぼゼロと言えますが最後尾の数はどんなに小さかろうと、大きさを持つので絶対にゼロではありませんので、完璧な『0』ではありません、完璧な『0』でない以上は大きさを持つ数ですので割り算が無限に可能です）。
アウトポイント2：「最後尾の数」はない。なぜなら無限であるから。つまりこれは「ほぼ」ではなく全くの「0」に等しい。「完璧な『0』」である。繰り返します。無限だから。
＞ということは、1を無限で無限に割り続けても0になることはないと保証されているので、無限に割り続けることが可能になります、
アウトポイント3：全く逆。無限に割り続けても0以外の桁が出ないことが「保証」される。無限だから。「無限に割り続けることが可能になります」は正解。正確には「無限に割り続けても終わりがない」。
＞よって、1の中には無限の数が存在できると言えます。
アウトポイント4：これは、仮にここまでの前提があっていてもおかしい。「無限の数が存在できる」とは何かが不明。

(2)
＞無限の演算が完了できなくとも絶対に0にならないのは既に決まっています
アウトポイント3に同じ。絶対に0に「なる」のが既に決まっている。
＞1を無限に割り続けてどんなに小さな小さな数になろうと、完全に0にならない以上は
アウトポイント2と3に同じ。「完全に0」になることが決まっている。
＞1の中に無限に入ることの出来る数は存在しないと言えます。
アウトポイント4に同じ。この結論は全く持って論理的でない。

＞1の中に無限の数は存在出来るのか、出来ないのかどちらが正しいのでしょうか？
アウトポイント0：存在できるとかできないとかの発想はおかしい。1＜∞は自明。

前回も言いましたけども、「1を∞で割ると0.00000…であり、割る数が∞であるからこの先0以外の数字が出現することはない。だから0と等しい」んです。「完全には0ではない」なんてのは数学では許されない。
発想自体は買いますが、前提条件を間違えているのではそれはたわごとに終わります。

お礼

ご説明して頂きありがとうございました！

回答No.2

ONEONE

直接の回答にはなりませんが、「濃度」（特に「無限集合の濃度」）を勉強されると面白いと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29

お礼

教えて頂きありがとうございました！