数学 関数 数列

質問

数学の問題で画像の問題がどうしても分からないので、ご教授願います。お願いします。

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回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

毎年4月1日に10000円を入金する
翌年3月31日に10%の利子がつくものとする
2014年4月1日から入金を開始した
従って2015年4月1日での金額は,
2014年4月1日に入金した10000円
2015年3月31日についた利子1000円,
2015年4月1日に入金する10000円の合計で21000円となる
(a)
2016年4月1日での金額は
2015年4月1日までの合計で21000円に加え
2016年3月31日についたの利子2100円
2016年4月1日に入金する10000円の合計で
21000+2100+10000=33100円

(b)
(2014+n)年4月1日での金額をa(n)円とすると
a(1)=21000
a(2)=33100
a(2)-a(1)=21000*0.1+10000=0.1a(1)+10000
a(n+1)-a(n)=ra(n)+c
r=0.1
c=10000
が成立する

(c)
b(n)=a(n)/(1+r)^n
とおくとき
b(n+1)-b(n)
=a(n+1)/(1+r)^{n+1}-a(n)/(1+r)^n
={a(n+1)-(1+r)a(n)}/(1+r)^{n+1}
={a(n+1)-a(n)-ra(n)}/(1+r)^{n+1}
=c/(1+r)^{n+1}
=10000/(1.1)^{n+1}

(d)
b(n)
=b(1)+Σ_{k=1～n-1}{b(k+1)-b(k)}
=a(1)/(1+r)+Σ_{k=1～n-1}10000/(1.1)^{k+1}
=21000/1.1+{10000/(1.1)^2}Σ_{k=0～n-2}1/(1.1)^k
=210000/11+(1000000/121){1-1/(1.1)^{n-1}}/(1-1/1.1)
=210000/11+(1000000/11)(1-(10/11)^{n-1})
=110000-10^{n+5}/11^n

a(n)
=b(n)(1+r)^n
={110000-10^{n+5}/11^n}(1.1)^n
=110000(11/10)^n-(10^{n+5}/11^n)(11/10)^n
=100000(1.1^{n+1}-1)

(e)
a(n)>1110000
(1.1^{n+1}-1)*100000>1110000
1.1^{n+1}-1>11.1
1.1^{n+1}>12.1
1.1^{n+1}>(1.1)^2*10
(1.1)^{n-1}>10
log_10(1.1^{n-1})>1
(n-1)log_10(1.1)>1
n-1>1/log_10(1.1)
n>1+1/log_10(1.1)
n>1+1/0.0414
n>25.15458937198…
n=26
2014+n
=2014+26
=2040
∴
4月1日時点での金額が1110000円を初めて超えるのは西暦
2040年

お礼

ありがとうございました‼