数学 数列 級数

質問

問2.の問題の解き方が分かりません。ご教授願います。お願いします。

回答No.2

info222_

2.
(1)
1/(1*4)+1/(4*7)+1/(7*10)+ ... +1/(3n-5)(3n-2)+1/(3n-2)(3n+1)+ ...
=(1/3)(1/1-1/4)+(1/3)(1/4-1/7)+(1/3)(1/7-1/10)+ ... +(1/3)(1/(3n-5)-1/(3n-2))
+(1/3)(1/(3n-2)-1/(3n+1))+ ...
=(1/3){1/1-1/4+1/4-1/7+1/7-1/10+1/10+ ... +1/(3n-5)-1/(3n-2)+1/(3n-2)-1/(3n+1)+ ... }
=(1/3)(1/1)
=1/3

(2)
1/(1*4)+1/(2*5)+1/(3*6)+ ... +1/(n-1)(n+2)+1/n(n+3)+1/(n+1)(n+4)+ ...
=(1/3)(1/1-1/4)+(1/3)(1/2-1/5)+(1/3)(1/3-1/6)+(1/3)(1/4-1/7)+ ...
+(1/3)(1/(n-1)-1/(n+2))+(1/3)(1/n-1/(n+3))+(1/3)(1/(n+1)-1/(n+4))+ ...
=(1/3)(1/1+1/2+1/3)
=(1/3)(11/6)
=11/18

(3)
5/6+13/36+ ... +(3^n+2^n)/6^n+ ...
=(1/2+1/3)+(1/4+1/9)+ ... +(1/2^n+1/3^n)+ ...
={1/2+1/2^2+ ... +1/2^n+ ... }+{1/3+1/3^2+ ... +1/3^n+ ... }
=(1/2)/(1-1/2) + (1/3)/(1-1/3)
=1 + 1/2
=3/2

回答No.1

noname#232123

※ 1), 2)は実際に項を書き出し、互いに消去されるようすを確認してください。その上でn→∞としてください。3)は２つの無限等比級数の和です。
1) a[n]=(1/3){1/(3n-2) - 1/(3n+1)} ですから、
3*Σ[k=1~n]a[k]=1 - 1/(3n+1).
2) a[n]=(1/3){1/n - 1/(n+3)} ですから、
3*Σ[k=1~n]a[k]=1+1/2+1/3 - {1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)}.
3) a[n]=(1/2)^n+(1/3)^n ですから、
Σ[k=1~∞]a[k]=Σ(1/2)^k+Σ(1/3)^k
この先を計算してください。