数学・数列 級数の収束について教えてください！

質問

おはようございます。
数学・数列の、級数の収束について教えてください。
具体的には、以下の問題で悩んでいます。
お願いします。

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回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

まずわかりやすいところからいくと, 1つ目は発散します. これは, 例えば
√[n(n+1)] ≦ 2n
とできる (実際には左辺はほぼ n+1/2) ことから 1/√[n(n+1)] ≧ (1/2)(1/n) となり, 右辺の和は (調和級数の和の半分だから) 発散しますね.
で, 3つ目も発散します. これについては
(3+n)/(3+n^2) ≧ (3+n)/(3n+n^2) = 1/n
でいいかと.

残った 2つ目ですが, これは収束します. 実際, cos nπ = (-1)^n であることに気付けば
(n+1+cos nπ)^2 ≧ (n+1-1)^2 = n^2
から
1/(n+1+cos nπ)^2 ≦ 1/n^2
となり, 右辺の和が π^2/6 に収束することでわかります.

お礼

なるほど！
ご丁寧にありがとうございます！
勉強になりました。

回答No.4

Tacosan

あ, 2つ目について #3 では π^2/6 まで追い込んでますが, 単に「収束する」ことを言うだけならもっと簡単に
Σ(k=1～n) 1/k^2 ≦ 2-1/n
だけでも済みますね (n を∞に飛ばして 2 で抑えられる). この不等式はたぶんそこそこ有名だし, 帰納法を使えば証明できます.

お礼

なるほど！
そこそこ有名…まだまだ修行が足りません。
がんばります。

回答No.2

Tacosan

こういう問題は, 先に「収束するか発散するか」を予測しておくと簡単.
今の場合は全ての項が正なのは明らかだね. だから,
・「収束する」と思うなら「各項がより大きな級数」で収束するものをもってくる
・「発散する」と思うなら「各項がより小さな級数」で発散するものをもってくる
といい.

ところで, 調和級数が発散するのはいいよね?

お礼

お礼欄にて失礼します。
慣れていないものですみません。
１問目は発散、３問目は収束だとあたりをつけました。
２問目について、お願いします！

補足

なるほど！
調和級数の発散、OKです！

回答No.1

Tacosan

みにくい. 文字で書いて.

補足

一問目：Σ^∞_n=1 1/√(n(n+1)
二問目：Σ^∞_n=1 1/(n+1+cos nπ)^2
三問目：Σ^∞_n=1 3+n/(3+n^2)

です。画質が悪くごめんなさい。よろしくお願いします。