中3 相似な図形 比

質問

数学の発展問題にこのような問題がでました
下に貼っておきました

問題はこんな感じです
BＤ：ＤＣ=２：1
ＡＦ：ＦＤ=２：1
ＢＦ：ＦＥは？

どこをとっても相似な図形にならず
結局2時間悩みましたが、分かりませんでした
補助線を引くと言われたのですが
どこに引いても全く分かりません。

分かる方ご回答お願いします。

回答No.6

staratras · ベストアンサー

No.3です。別の補助線による解法の概略です。三角形ABCの頂点Aを通り辺BCに平行な直線を引き、線分BEを延長した半直線との交点をGとします。

三角形AFGと三角形DFBは相似で相似比は、AF:FD=2:1なのでAG=2BDです。
またFG:FB=2:1で、No.3で示したようにBC=(3/2)BDです。

また三角形AEGと三角形CEBも相似なので、EG:EB=AG:BC=2:3/2=4:3です。
FE=ｘとして代入すると、EG:EB=FG-FE:FB+FE=(2-x):(1+x)=4:3 です。

これから4(1+x)=3(2-x)　より　7x=2　x=2/7　したがってBF:FE=7:2

お礼

ほうほう、こういうやり方でも
解くことができるのですね！
ご回答ありがとうございました。

回答No.11

staratras

「おまけ」（？）として、具体的な長さの計算を一切やらなくてもBF:FEの値が求められる手品のような解法を紹介します。

三角形FDCの面積をSとすると、BD：DC=2:1より、三角形FDB=2S
またAF:FD=2:1より、三角形FAC=2S、三角形FAB=4Sとなります。(下の左の図)

これだけで「BF:FEは凹四角形(へこんだ四角形)ABCFと三角形AFCの面積の比に等しい」
から、
凹四角形ABCF=三角形FAB+三角形FDB+三角形FDC=4S+2S+S=7S 三角形AFC=2Sだから
BE:FE=7:2 　だとわかります。

「」の中のことはなぜそう言えるか、説明したのが下の右の図です。

Fを通りACに平行な直線を引き、三角形の頂点AとCからそれぞれBEに平行な直線を引いて交点をそれぞれA'とC'とします。AA'とBB'はそれぞれBEと平行なので、三角形ABFの面積は三角形A'BFの面積と等しく、三角形CBFの面積は三角形C'BFの面積と等しくなります。つまり凹四角形ABCFの面積は三角形A'BC'の面積と等しくなります。

ここで三角形AFCと三角形A'BC'は底辺ACとA'C'の長さが等しいので、面積の比は高さの比で、これはすなわちBF:FEになります。（なぜならばBからA'C'、FからACにそれぞれ垂線の足BH'とFHを下ろせば、三角形BFH'と三角形FEHが相似になるからです。）

図形の問題は実にさまざまな解法があって面白いと思います。

お礼

面積比でも、求められるのですね！
いろんなやり方があって、こういう問題は面白いですね！
ご回答ありがとうございました

回答No.10

staratras

>FD:FG=BD:EG に代入するとありますが
なぜ、これに代入するのですか？関連性はあるのですか？

最終的に求めたいのはxの値です。そのためにxについての方程式を作りたいのです。
三角形BFDと三角形EFGは相似なので、対応する辺同士の比が等しくFD:FG=BD:EG…（１）が成り立ちます。ここで、（１）の左辺は1:xなので、右辺をxについての式で表すことができればxについての方程式ができます。

BD:DC=2:1という問題中の条件からBD=２CD…（２）であることは明らかです。
EGをxで表すために、こでもう一つの三角形の相似、三角形AGFと三角形ADCが相似であることを使い、EG=((2-x)/3)CD…（３）という式を作りました。（２）と同じCDの何倍という形にすれば比をとればCDが消えてくれるからです。

ここまでで準備ができたので、（２）と（３）を（１）のFD:FG=BD:EGに代入して
1:x=2CD:((2-x)/3)CD　つまり1:x=2:((2-x)/3)…（４）　という等式を導くことができました。

（４）を変形すれば、2x=(2-x)/3 すなわち　6x=2-x という簡単なxについての方程式ができます。

お礼

そういう事だったんですね！
詳しく教えて頂き、とても、分かりやすかったです
ご回答ありがとうございました。

回答No.9

staratras

No.3,6,7,8です。肝心なことを書き忘れていたので補足します。図形の問題では特別な位置というか「絶妙の位置に補助線を引かないと解けない」難問もありますが、ご質問の問題はそうではなく、「いろいろな位置に引いた補助線で解ける」問題です。ただし補助線の位置によって計算の手間やわかり易さには多少の差はあります。4通りの補助線を使った拙答がその点を理解される手助けになれば幸いです。

お礼

こういう問題はいろんな所に補助線を引いてみろ！
ってことですよね
今回の質問でどこに補助線を引けばいいか？
のコツがなんとなく鍛えられたような気がします！
ご回答ありがとうございました。

回答No.8

staratras

No.3,6,7です。「補助線シリーズ（？）」第4弾です。Eを通り三角形ABCの底辺BCに平行な直線を引き、ADとの交点をGとします。FD：FG=1:xとします。

三角形BFDと三角EFGは相似で相似比はxなのでFG=xFDです。
またAF:FD=2:1だから、AG=(2-x)FDで、AD=3FDです。

三角形AGFと三角形ADCも相似だからAG:AD=GE:DC、すなわち(2-x):3=GE:CDとなるから
GE=((2-x)/3)CD

FD:FG=BD:EG に代入すると、1:x=2CD:((2-x)/3)CD
2x=(2-x)/3 6x=2-x x=2/7

したがって、BF:FE=FD:FG=1:2/7=7:2

お礼

補助線シリーズ、ありがとです！ｗ
とっても、参考になりました！
またの機会があったらよろしくお願いします
ご回答ありがとうございました。

補足

FD:FG=BD:EG に代入すると
とありますが
なぜ、これに代入するのですか？
関連性はあるのですか？

回答No.7

staratras

No.3&6です。いろいろな解法が可能なところが図形(幾何)の興味深い点だと考えますので、さらに別の補助線による解法のあらましを示します。EからADに平行な直線を引き三角形ABCの辺BCとの交点をGとします。

三角形BFDと三角形BEGは相似だから、BF:FE=BD:DG。DG=xとおくと相似比は2:(2+x)なので、EG=((2+x)/2)FD

また三角形ADCと三角形EGCも相似であり、AF:FD=2:1よりAD=3FDだから
AD:EG=DC:GCに代入すると、3:(2+x)/2=1:(1-x) よって6:(2+x)=1:(1-x) 6(1-x)=2+x 7x=4 x=4/7

したがってBF:FE=BD:DG=2:4/7=14:4=7:2

なおNo.6の回答4行目の、「No.3で示したように」は削除します。No.3ではそんなことは示していませんでした。失礼しました。

お礼

やり方はこんなにもあるんですね！
改めて数学の面白さを知りました！
ご回答ありがとうございました

回答No.5

f272

#4です。
> どこからですか？

BF=(2,-1)ではなくてBF=(2,1)でした。すいません。
B(-2,0)，F(0,1)なのだからBからFに行くにはx方向に2，y方向に1行くことになります。

> FE=(4/7,2/7)=(2/7)*BF
> なぜ、こうなるのでしょうか？

FE=(4/7,2/7)というのはF(0,1)からE(4/7,9/7)に行くにはx方向に4/7，y方向に2/7行くことになるということです。
BF=(2,1)とFE=(4/7,2/7)をみればFEはBFの(2/7)倍ですよね。

座標を導入する最大のメリットは，ひらめきがなくても機械的に計算できるということです。

お礼

座標でも、求めることができるのですね！
参考になりました
ご回答ありがとうございました。

回答No.4

f272

既に回答があるようなので，ぜんぜん違う方法でやってみる。
この図形を平面座標を導入して
D(0,0)
C(1,0)
B(-2,0)
F(0,1)
A(0,3)
とする。このとき直線ACはy=-3x+3で，直線BFはy=(1/2)x+1であるから，その交点を求める。
E(4/7,9/7)
です。そうすると
BF=(2,-1)......これはx方向に2，y方向に-1行くと解釈してください。
FE=(4/7,2/7)=(2/7)*BF
になる。したがって
BF:FE=1:2/7=7:2

お礼

ご回答ありがとうございました

補足

BF=(2,-1)......これはx方向に2，y方向に-1行くと解釈してください。

どこからですか？

FE=(4/7,2/7)=(2/7)*BF
なぜ、こうなるのでしょうか？

回答No.3

staratras

簡単に解法の方針を示します。実際の回答では相似になる理由がもちろん必要です。下の図のようにCを通りADに平行な半直線を引き、BEを延長した半直線との交点をHとします。

三角形FBDと三角形HBCは相似で、相似比はBD:BC=2:(2+1)=2:3なのでHC=(3/2)DFです。

また三角形AFEと三角形CHEも相似で、相似比はAF:CH=2DF:(3/2)DF=4:3です。

したがってFE:EH=4:3ですが、三角形FBD∽三角形HBCなのでBF:BH=2:3より
BF:FH=2:1　だからFE=BF×1/2×4/(4+3)=（2/7)BF　となります。

したがって求めるBF:FE=1:2/7=7:2

お礼

ふむふむ、なるほど
分かりやすいですね！
ご回答ありがとうございました

回答No.2

jcpmutura

△ABCのBCが底辺の時の高さと
△ADCのDCが底辺の時の高さは等しいからそれを
h
とすると
△ABCの面積
|△ABC|=|BC|*h/2
△ADCの面積
|△ADC|=|DC|*h/2
↓|BD|:|DC|=2:1だから
|BC|:|DC|=|BD|+|DC|:|DC|=2+1:1=3:1
だから
|△ABC|:|△ADC|=|BC|*h/2:|DC|*h/2=3:1
だから
|△ADC|=|△ABC|/3…(1)

△ADCのADが底辺の時の高さと
△AFCのAFが底辺の時の高さは等しいからそれを
H
とすると
△ADCの面積
|△ADC|=|AD|*H/2
△AFCの面積
|△AFC|=|AF|*H/2
↓|AF|:|FD|=2:1だから
|AD|:|AF|=|AF|+|FD|:|AF|=2+1:2=3:2
だから
|△ADC|:|△AFC|=|AD|*H/2:|AF|*H/2=3:2
だから
|△AFC|=2|△ADC|/3
これと(1)から
|△AFC|=2(|△ABC|/3)/3=2|△ABC|/9
だから
|△ABC|:|△AFC|=9:2…(2)

△ABCのACが底辺の時の高さをh1
△AFCのACが底辺の時の高さをh2
とすると
△ABCの面積
|△ABC|=|AC|*h1/2
△AFCの面積
|△AFC|=|AC|*h2/2
|BE|:|FE|=h1:h2だから
だから(2)から
|BE|:|FE|=h1:h2=|AC|*h1/2:|AC|*h2/2=|△ABC|:|△AFC|=9:2
だから
|BF|:|FE|=|BE|-|FE|:|FE|=7:2
∴
|BF|:|FE|=7:2

お礼

ご回答ありがとうございました

回答No.1

nihonsumire

どんな天才でも、この問題は解けません。なぜなら，条件が一つ足りないからです。おそらく、AE:BCが与えられているはずです。補助線を引くのは、2通りの引き方があって、
点FからBCに平行線を引きACとの交点をGとする。△ADCで「平行線と線分比」（相似の三角形と言わなくても）からFG:DCを求めると△FBCでFG:BCから出る。もう一つは点FからACに平行に引いても出来ます。
　参考までに、これはメネラウスの定理といって覚えておくと、私立高校入試で役に立ちます。

お礼

メネラウスの定理、、、ですか
答えはあったようですが、考えて頂きありがとうございました