中学数学の平面図形の問題で質問です。

質問

中学数学の平面図形で、（添付ファイル参照ください）
△ABCと△CDEが相似なのはわかるのですが、
△BC＝DCのとき、△ACEも相似になることが、証明できません。
教えてください。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

△ACEと△CDEで
△ABC∽△CDEなので　対応する辺の比は等しいことから
　AC:CE=BC:DE
BC=DC なので
　AC:CE=CD:DE
比は内側同士を入れ替えても成り立つので
　AC:CD=CE:DE　　・・・・・(1)
　∠ACE=∠CDE=90°　　・・・・(2)
(1)(2)から2つの辺の長さの比とそのはさむ角がそれぞれ等しいので
　△ACE∽△CDE

お礼

なるほど！
納得です。ありがとうございました。

回答No.2

zoutousagi

別手法です。
問題が解けるという前提の下であれば、このような手法が適用できるというものです。
AB=a, BC=CD=b, DE=cとします。
△ABCが△CDEと相似なので、
b/a=c/b=αとすると
b=αa　　(1)
c=αb=α^2 a (2)
となります。
△ACEが相似であるならば、角ACEが直角であることとあわせて、
CE/ACも同じ比(α)になるはずなので、
ピタゴラスの定理を適用して以下の式を計算します。
CE/AC=√(b^2+c^2) / √(a^2+b^2)
に(1)(2)を代入して変形すればαになり、同じ比であることが
示されたので、相似が証明できます。

お礼

別解をありがとうございました。
少し高級ですね。