図形

質問

(1)
△ABCで、BCを1:2に内分する点をD,ADを2:3に内分する点をEとし、BEの延長とACとの交点をFとする。このとき、AF:FCの値を求める。

BFに平行な直線DGをひくと
△BCFでBD:DC=２：３はわかるのですが
EG:GC=1:2がわかりません

また、△ADGでAE:ED＝2:3はわかるのですが
AF:FG=2:3がわかりません。
そして、
このあとどのように求めるのかわかりません。

(2)
正三角形ABCをBCに平行な２直線DE,FGで切って、P,Q,Rという３つの図形を作った。P,O、R面積の比が4:5:16であるとき、△ADE,△AFG、△ABCの相似比に着目して考えると、P,Q,Rの周りの長さの比はいくら。

△ADE∽△AFG∽△ABCで
面積比は
4:（4+5）:（4+5+16）=4:9:25
３つの三角形の相似比は2:3:5ですが、
このあとの、P,Q,Rの周の長さの比の求め方がわかりません。
お願いします

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。

(1)
＞BFに平行な直線DGをひくと
△BCFでBD:DC=２：３はわかるのですが
　　　　　↑
ここ、ちょっとおかしいですね。
点Dは、BCを１：２に内分する点でしたので、
BD:DC=1:2
また、△BCF∽△DCGなので、
BD:DC=FG:GC=1:2ですね。←EG:GCじゃありません。

＞また、△ADGでAE:ED＝2:3はわかるのですが
AF:FG=2:3がわかりません。

これも同じことです。
△ADG∽△AEFですから、EF//DGより、
AE:ED=AF:FG=2:3になりますね。

ここで、FG=ｘとおいてみましょう。
AF:FG=2:3より、FG=ｘとすると、AF=（２/３）ｘ
また、FG:GC=1:2より、FG=ｘとすると、GC=2ｘ

AF:FC=（２/３）ｘ：（ｘ＋２ｘ）＝（２/３）：３
＝２：９
となると思います。

(2)
△ABCは正三角形なので、１辺の長さを１とします。
すると、AB=BC=CA=1ですね。

さて、△ADE,△AFGもまた、正三角形になっています。
その相似比は、２：３：５と求めましたよね。

ですから、AB=1とすると、AF=３/５、AD=２/５
△ADEは１辺２/５の正三角形なので、
Pの周は、（２/５）×３＝６/５

Qの周は、△AFGの周ー辺AD－辺AE+辺DEですから、
Qの周＝（３/５）×３－（２/５）－（２/５）＋（２/５）
＝７/５

Rの周は、△ABCの周ー辺AF-辺AG+辺FG
＝（１×３）－（３／５）－（３/５）＋（３/５）
＝１２/５

となるので、
Pの周：Qの周：Rの周＝６：７：１２・・・（答え）

となると思います。頑張ってください。

お礼

いつもありがとうございます。