途中計算がわかりません

質問

問題
Solve the equation 2z^3 =9+3 √3i, giving all your solutions in polar form.

答えを出す以前にzをpolar formに変える時点で間違ってしまいます。

解答の途中計算では
z=(4.5 + 2.6981i)^(1/3) = √3cis[( Π+12k Π)/18]です。

私は
z^3 = √27cis(√3/3)
=√27cis[(√3/3)+2k Π ]
z=[√27cis[(√3/3)+2k Π ]^(1/3)
=√3cis[(√3/9)+(2k Π/3 )]
となり分母を１８で揃えても解答とは違った途中計算になります。
どこが間違っているのか指摘して頂けますか？

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>解答の途中計算では
>z=(4.5 + 2.6981i)^(1/3) = √3cis[( Π+12k Π)/18]です。

2z^3 =9+3 √3i
z^3=3√3 (√3 /2 +(1/2)i )=3√3 cis(Π/6)=(√3)^3 cis(Π/6+2kΠ)=(√3)^3 cis((Π+12kΠ)/6)=
z=√3 cis((Π+12kΠ)/18),

>私は
>z^3 = √27cis(√3/3) << 間違い
正解 =√27cis(tan^-1(√3/3))=√27 cis(Π/6)
したがって以下はダメ。

> =√27cis[(√3/3)+2k Π ]
> z=[√27cis[(√3/3)+2k Π ]^(1/3)
> =√3cis[(√3/9)+(2k Π/3 )]

お礼

計算に気を取られて肝心のtan^-1をしていませんでした。
間違いがわかりました、有り難うございました。