この問題がわかりません

質問

ｚ= i / 1-i を、z = r cisθの形に直せ　・・・　という問題を解いています。

■解答を見ると

　z = cis(π/2）　　/　　√2cis（3/4π）　　　・・・と変形されています。【１】

■次にこれが、

z = √2/2cis（3π/4）　　　となって終わっています。【２】

■質問は、
【１】　どうして　【１】行目の分母が3/4πになるのでしょうか？　私は虚軸と実軸を描いて、1-iなのだから、7/4πだろうと考えたのですが・・・

【２】　【１】行目から【２】行目に変形するのに、何が起こっているのか、理解できません・・。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

ｚ= i / (1-i)
z = r cisθの形に直せ。
■解答を見ると
　z = cis(π/2）/(√2cis（3/4π）)　　　・・・【１】

■次にこれが、
z = √2/2cis（3π/4）　　　・・・【２】

■質問は、
【１】　どうして　【１】行目の分母が(3/4)πになるのでしょうか？　
私は虚軸と実軸を描いて、1-iなのだから、(7/4)πだろうと考えたのですが・・・
＞解答の方が間違いです。
cis((7/4)π)でもいいですが、cis((7/4)π)=cis(-π/4)なので　後の計算上、-π/4
とした方が良いでしょうね。

【２】　【１】行目から【２】行目に変形するのに、何が起こっているのか、理解できません・・。
＞公式
　z1=r1cis(θ1), z2=r2cis(θ2)のとき
　z1/z2 = (r1/r2) cis (θ1 - θ2)
であることを学びませんでしたか？
この公式に当てはめているだけです。
　z1=1cis(π/2), z2=1-i=√2cis(-π/4)
　r1=1, r2=√2, θ1=π/2, θ2=-π/4
　z=r1/r2=(1/√2)cis(（π/2)-(-π/4))=(√2/2)cis（3π/4）
と【２】の式が得られますね。

お礼

なんと、解答ミスでしたか・・・。

とてもわかりやすかったです。

公式のことは、初めて知りました。だから、とても助かりました！

本当に、どうもありがとうございました。