偏微分の計算の途中が分かりません。

質問

電磁気の問題で偏微分がでてきたのですが、分からない箇所があったので投稿させていただきました。

<電磁気問題の途中の計算で出てきました>

f(u)のuについての偏微分を　’(ダッシュ)で表すことにすると、
f(z-ct)のｔについての偏微分は

∂f　(z-ct)/∂t　＝　∂(z-ct)/∂t・f ’(z-ct)　＝　－c・f ’(z-ct)
　　　　　　　 ＝　－c・∂(z-ct)/∂z・f ’ (z-ct)
　　　　　　　 ＝　-c・∂ｆ（z-ct）/∂ｚ

と解いていたのですが、２番目の-cが出てくる所と３番目の式のｆ’の所はｔで偏微分をしているで分かります。ですがその先は∂zが分母に来ていた所では∂z　＝　∂ｔ・∂z/∂t　かと思いましたがなんだか上手くいきません。わかる方お願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

偏微分の意味がよく理解されていないようですね。
ある変数で偏微分するという事は他の変数は定数として扱って微分するという事です。そうすれば
∂(z-ct)/∂t＝　－c
∂(z-ct)/∂z＝　1
の理解がすっきりいくでしょう。

式の一行目は良いですが2行目に変形はできません。1行目の変数はtで、zは定数です。その定数のzを変数としてzで偏微分することは偏微分の定義に矛盾します。この点で1行目から2行目に変形できず、最終結果の式を見据えた単なるつじつま合わせで偏微分が何かを理解していない事をはっきり曝してしまう式の変形といえます。答案で言えば×になります。

この問題が2行目以降は別計算で
∂ｆ（z-ct）/∂ｚ　＝　∂(z-ct)/∂t・f ’(z-ct)　＝　f ’(z-ct)
を計算して、この式と1行目の式と比較して
∂f　(z-ct)/∂t　＝　-c・∂ｆ（z-ct）/∂ｚ
を導かないといけません。

お礼

理解できました、有難う御座います。
おかげさまで、スッキリしました。

回答No.3

futoshi123

∂(z-ct)/∂z=1
f'(z-ct)=∂f(z-ct)/∂(z-ct)=(∂f(z-ct)/∂z)(∂z/∂(z-ct))
を用いれば良いのでは？

回答No.2

noname#101087

>∂f　(z-ct)/∂t　＝　∂(z-ct)/∂t・f ’(z-ct)　＝　－c・f ’(z-ct)
　　　　　　　 ＝　－c・∂(z-ct)/∂z・f ’ (z-ct)
　　　　　　　 ＝　-c・∂ｆ（z-ct）/∂ｚ

いくつかの予備考察を。
　(1) f' は u = (z-ct) での(全)微分。
　(2) ∂(z-ct)/∂z = f'(z-ct)

なるほど。２番目から５番目へじかに飛んだほうがわかり易いですね。