複素数の計算

質問

問題を解く過程で、以下の式の変形が必要とされます。
2|z-(3+3i)|=|z| …(1) iは虚数単位
解答によると、
z=r(cosθ+isinθ)とおくと、
（与式）⇔ r^2-8(sinθ+cosθ)r+24=0　…(2)
と整理出来るらしいのです。
しかし、自力で何度計算しても、うまく出来ません。
恐らく、何らかの勘違いをしていると思われます。
(1)から(2)の計算過程がわかる方、お手数をおかけしますが、お教えいただけないでしょうか。

回答No.2

banakona · ベストアンサー

＃１です。訂正です。

（誤）これを2乗したものが(1)の右辺に等しいから
（正）これを2乗したものが(1)の右辺の２乗に等しいから

補足：｜ａ＋ｂｉ｜＝√（ａ^2＋ｂ^2）
はご存知ですよね。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます！
とても分かりやすく、自分の勘違いの部分も発見しました。
｜ａ＋ｂｉ｜＝√（ａ^2＋ｂ^2）
が分かっていたはずなのに、
｜ａ＋ｂｉ｜^2＝（ａ^2＋ｂ^2）
とせずに、
｜ａ＋ｂｉ｜^2＝(ａ＋ｂｉ)^2
と誤解して展開していました。
助かります！

回答No.1

banakona

念のため。｜｜は絶対値。z=r(cosθ+isinθ)と置いたということは、ｚの絶対値はｒということ。

（１）の左辺＝２｜（r(cosθ+isinθ)－３－３ｉ）＝２√（（rcosθ-3）^2+（ｒsinθ－３)^2））
　＝２√（ｒcosθ）^2－６ｒcosθ＋９＋（ｒsinθ）^2－６ｒsinθ＋９）
　＝２√（ｒ^2（cos^2θ＋sin^2θ）-６ｒ（cosθ-sinθ）＋１８）
これを2乗したものが(1)の右辺に等しいから
４（ｒ^2（cos^2θ＋sin^2θ）-６ｒ（cosθ-sinθ）＋１８）＝ｒ^2
cos^2θ＋sin^2θ＝１ゆえ　　４（ｒ^2-６ｒ（cosθ-sinθ）＋１８）＝ｒ^2
整理すると　３ｒ^2－２４ｒ（cosθ-sinθ）＋７２＝０
３で割ると（２）になります。