2z^3 -3z^2+18z +10= 0

質問

問題）
Solve the following complex equations and represent your solutions on the Argand diagram.　　
2z^3 - 3z^2 + 18z + 10 = 0

答え）-0.5+0i, 1+3i, 1-3i

質問）式の解き方がわかりません。zに 1,-1,10, -10, 2, -2, 5, -5　を入れてみましたが０にならず、全体式を　z　や　２　でくくってもみましたが分かりません。
この式の解き方を教えて頂けますか？

回答No.2

noname#222520 · ベストアンサー

与式の左辺は、zについての3次式であるから、1次式と2次式（場合によっては1次式と1次式の積）の積の形に表せる筈である。（3次方程式は、必ず1つの実数解をもつ。）
z^3の係数2=1*2、定数項10=1*10または(-1)*(-10)または2*5または(-2)*(-5)であるから、1次式の候補として次の16の式が考えられる。

z+1、z+10、2z+1、2z+10=2(z+5)、z-1、z-10、2z-1、2z-10=2(z-5)
z+2、z+5、2z+2=2(z+1)、2z+5、z-2、z-5、2z-2=2(z-1)、2z-5

これから、2z+1=0を満たすz=-1/2、2z-1=0を満たすz=1/2、2z+5=0を満たすz=-5/2、2z-5=0を満たすz=5/2も与式の左辺に代入して、0になるかをどうかを確認する必要がある。

この結果、z=-1/2のときに与式の左辺=0になるので、与式の左辺は2z+1を因数にもつ。
与式の左辺=(2z+1)(z^2-z+10)
z^2-z+10
=(z-1)^2+9
={(z-1)+3i}{(z-1)-3i}
={z-(1-3i)}{z-(1+3i)}

以上から、答えはz=-1/2=-0.5、1-3i、1+3i

お礼

たくさんの説明有り難うございます、とても勉強になります。
よくわかりました。

回答No.3

noname#222520

自分の名誉のために、ANo.2を次の通り訂正致します。

誤：『与式の左辺=(2z+1)(z^2-z+10)』→
正：『与式の左辺=(2z+1)(z^2-2z+10)』

よって、
z^2-2z+10
=(z-1)^2+9
={(z-1)+3i}{(z-1)-3i}
={z-(1-3i)}{z-(1+3i)}

単にzの係数2が欠落しただけで、その後の式の変形には影響していません。

お礼

有り難うございます　：）

回答No.1

alain13juillet

３乗の係数にの倍数分の定数項１０の約数なので、その他に１/2,－１/２も必要です。
そうすれば、z=-1/2が出るんじゃないですか?

お礼

有り難うございます。
今までこの様な問題で分数を使う必要が無かったので他の考え方があるかと思いました。
助かりました。