積分

質問

これらの積分のやり方を教えてください
∫√x/(x^2+1) dx
∫√x/(x^2-1) dx
∫e^x/(x^2+1) dx
∫e^x/(x^2-1) dx

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

∫ (√x)/(x^2+1) dx=I
t=√x, x=t^2と 置換積分するとよい。dx=2tdtより
I=∫ (2t^2)/(t^4+1) dt
=∫(2t^2)/{(t^2+1)^2-2t^2} dt
=∫(2t^2)/{(t^2-√2 t+1)(t^2+√2 t+1)} dt
=∫{(2t^2)/(2t√2)}{1/(t^2-√2 t+1)-1/(t^2+√2 t+1)} dt
=(1/(2√2)) ∫ 2t {1/(t^2-√2 t+1)-1/(t^2+√2 t+1)} dt
=(1/(2√2)) ∫ {2t/(t^2-√2 t+1)-2t/(t^2+√2 t+1)} dt
=(1/(2√2)) ∫ {(2t-√2+√2)/(t^2-√2 t+1)-(2t+√2-√2)/(t^2+√2 t+1)} dt
=(1/(2√2)) {ln|t^2-√2 t+1|+(√2) ∫ 1/((t-1/√2)^2 +1/2)dt -ln|t^2+√2 t+1|+(√2) ∫ 1/((t+1/√2)^2 +(1/2)) dt}
=(1/(2√2)) {ln|t^2-√2 t+1| -ln|t^2+√2 t+1|+(2√2) ∫ 1/(2(t-1/√2)^2 +1)dt+(2√2) ∫ 1/(2(t+1/√2)^2 +1) dt}
=(1/(2√2)) ln|(t^2-√2 t+1)/(t^2+√2 t+1)|+ ∫ 1/(((√2)t-1)^2 +1)dt+ ∫ 1/(((√2)t+1)^2 +1) dt
=((√2)/4) ln|(t^2-√2 t+1)/(t^2+√2 t+1)|+(1/√2) tan^-1((√2)t-1)+(1/√2) tan^-1((√2)t+1)
=((√2)/4) ln |(x+1-√(2x))/(x+1+√(2x))| +((√2)/2){tan^-1((√(2x)-1))+tan^-1(√(2x)+1)}+C
=((√2)/4) ln |(x+1-√(2x))/(x+1+√(2x))| +((√2)/2)tan^-1(2√(2x)/(1-(2x-1)))+C
=((√2)/4) ln |(x+1-√(2x))/(x+1+√(2x))| +((√2)/2)tan^-1(√(2x)/(1-x))+C
( ln( )はln( )は自然対数 Cは任意定数 )

∫(√x)/(x^2-1) dx=(1/2)∫(√x){1/(x-1)-1/(x+1) dx
t=√x, x=t^2と 置換積分するとよい。
I=∫(t^2){1/(t^2-1)-1/(t^2+1) dt
=∫{(t^2)/(t^2-1)-(t^2)/(t^2+1)} dt
=∫{1+1/(t^2-1)-1+1/(t^2+1)} dt
=∫{(1/2)(1/(t-1)-1/(t+1))+1/(t^2+1)} dt
=(1/2) {ln |t-1|- ln|t+1|}+tan^-1(t)+C
=(1/2)ln |(1-√x)/(1+√x)|+tan^-1(√x)+C

∫(e^x)/(x(x^2+1)) dx=∫(e^x)(1/x-x/(x^2+1)) dx
この積分は解析的には解けない。
特殊関数論(大学数学レベル)で扱う指数積分Ei(x) (参考URL)を使えば積分可能。
I=Ei(x)-(1/2){(e^i)Ei(x-i)+(e^(-i))Ei(x+i)+C

∫(e^x)/(x^2-1) dx=(1/2)∫(e^x){1/(x-1)-1/(x+1)} dx=
この積分は解析的には解けない。
特殊関数論(大学数学レベル)で扱う指数積分Ei(x) (参考URL)を使えば積分可能。
I=(e/2)Ei(x-1)-(1/(2e))Ei(x+1)+C

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5403675.html

回答No.1

shintaro-2

(x^2-1)は単に分母にいるだけなのか
ルート内なのか、eの指数なのかをはっきりさせてください。

後は置換積分ということなのでしょう。