広義積分

質問

∫[-∞　→　∞] ((x-i)^2)e^(-x^2) dx
の広義積分がわかりません。
e^(-x^2)の広義積分が√πになることを利用する、とかかれていたので部分積分から行くのかと思ったのですが、どうしてもできません。
よろしくおねがいします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

I=∫[-∞→∞] ((x-i)^2)e^(-x^2) dx
=∫[-∞→∞] (x^2-1-2ix)e^(-x^2) dx
=∫[-∞→∞] (x^2)e^(-x^2) dx-∫[-∞→∞] e^(-x^2) dx-2i ∫[-∞→∞] xe^(-x^2) dx
=I1-I2-2i I3
I1とI2は偶関数の対称区間の積分、I3は奇関数の対称区間の積分なので
I1=2∫[0→∞] (x^2)e^(-x^2)dx
I2=2∫[0→∞] e^(-x^2)dx
I3=0
I1=[(√π)/2*erf(x)-xe^(-x^2)][0→∞]=(√π)/4
I2=[(√π)erf(x)]][0→∞]=(√π)/2
ここでerfは誤差関数。
I=I1-I2=(√π)/4-(√π)/2
=-(√π)/4 ...(答)

お礼

対称性を利用してやればよかったんですね…！

ありがとうございました！