積分について

質問

(1)不定積分∫[(e^6x+2e^4x+e^2x+4)/{e^x(e^x+1)^2}]dx
(2)無限積分∫{(∞，0)(e^-x^3)}dx
(3)Dを直線y=2-xと曲線y=1+√(1-x^2)で囲まれた領域とする時，
　　∫∫[(D){x(x^2+1)}/y^2]dxdy
この三つの計算方法を教えてください。

回答No.2

chukanshi · ベストアンサー

すみません。
（２）なんですけれど。全然テクニックなんていりませんでした。
お恥ずかしい。
いきなり、x^3=tとおいてください。
1/3*t^(-2/3)*e(-t)dtの積分になりますから、
ガンマ関数の定義より、
1/3*Γ(1/3)が答え。
これで終っていました。m(__)m

補足

ガンマ関数の定義を教えてもらえませんか？

回答No.4

stomachman

あらら、（３）がほったらかしみたいです。

　中心(x,y)=(0,1), 半径1の円（の上半分）を、この円と(x,y)=(0,2)と(x,y)=(1,1)で交差する直線で切り取ったカマボコ形の領域がDですね。"D"って文字の形そのまんまです。（＜どうでもいいじゃない）
で、
∫∫x(x^2+1)/y^2dxdy 　((x,y)∈D)
の定積分をやれ、つう訳です。
　円と直線の交点を見れば分かるとおり、yの変域は
1≦y≦2
であり、xの変域は（yを定数だと思えば）
2-y≦x≦√(2y-y^2)
ですね。（えと、2-yと√(2y-y^2)てのはそれぞれ y=2-x をxについて解いたもの、 y=1+√(1-x^2) をxについて解いたもの、です。）
　ゆえに、内側の積分は（yを定数だと思ってやればいいので）
J(y) = (1/(y^2))∫x(x^2+1)dx (x=2-y～√(2y-y^2))
であり、これは簡単。yの関数として表されます。そして、外側の積分は
∫J(y) dy (y=1～2)
ということになります。これも簡単。

回答No.3

mickel131

私は（１）に回答します。
分母の式は　eのx(e^x+1)^2　乗　ではなく、
eのx乗　に (e^x+1)^2　をかけている、と見て解きました。

I=∫[(e^6x+2e^4x+e^2x+4)/{e^x(e^x+1)^2}]dx と置き、
eのx乗　を t 、被積分関数をｆ（ｘ）と置くと、
ｆ（ｘ）＝{t^6+2t^4+t^2+4}/ {t(t+1)^2}
　　　　＝{t^6+2t^4+t^2+4}/ {t^3+2t^2+t}
そこで、実際に　t^6+2t^4+t^2+4　を　t^3+2t^2+t　で割ってみる（筆算する）と、
商は　t^3-2t^2+5t-8　　、余りは 12t^2+8t+4
であるから、分子＝{t^3+2t^2+t}*{t^3-2t^2+5t-8} +{12t^2+8t+4} で、
ｆ（ｘ）＝　t^3-2t^2+5t-8　+{12t^2+8t+4}/{t^3+2t^2+t}
　　　　＝ t^3-2t^2+5t-8　+{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2}
ここで、{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2}　を部分分数に展開する。つまり、
{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = a/t + (bt+c)/(t+1)^2
と置き、この右辺を通分して計算する。
この右辺＝{a(t+1)^2+(bt+c)t} /{t(t+1)^2}
　　　　＝{at^2+2at+a +bt^2+ct} /{t(t+1)^2}
　　　　＝{(a+b)t^2 +(2a+c)t +a} /{t(t+1)^2}
これを左辺と比較して、a+b＝12　,　2a+c＝8　,　a=4
連立して解くと、a=4　,　b=8　,　c=0
したがって、{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = 4/t + 8t/(t+1)^2
以上から、　
ｆ（ｘ）＝　t^3-2t^2+5t-8　+{12t^2+8t+4}/{t^3+2t^2+t}
　　　　＝ t^3-2t^2+5t-8　+4/t + 8t/(t+1)^2
　　　　＝ t^3-2t^2+5t-8　+4/t + (8t+8-8)/(t+1)^2
　　　　＝ t^3-2t^2+5t-8　+4/t + (8t+8)/(t+1)^2 -8/(t+1)^2
　　　　＝ t^3-2t^2+5t-8　+4/t + 8/(t+1) -8/(t+1)^2
　　　　＝(e^(3x))-2(e^(2x))+5(e^x)-8 +4e^(-x) +8/(e^x+1) -8/(e^x+1)^2
これを積分する。
I＝∫{(e^(3x))-2(e^(2x))+5(e^x)-8 +4e^(-x) +8/(e^x+1) -8/(e^x+1)^2｝dx
　＝(1/3)e^(3x)-2(1/2)(e^(2x))+5(e^x)-8x-4e^(-x)+ 8* ∫{1/(e^x+1) -1/(e^x+1)^2}dx
ここで、e^x+1＝t と置くと、e^x＝t-1 　また、　e^x dx=dt
∫{1/(e^x+1) -1/(e^x+1)^2}dx
＝∫[{(e^x+1)-1}/(e^x+1)^2]dx
＝∫[(e^x)/(e^x+1)^2]dx
＝∫[1/(e^x+1)^2]*(e^x)dx
＝∫[1/t^2] dt
＝-1/t +K
＝-e^(-x) +K 　　(K　は積分定数）
となるから、
I　＝(1/3)e^(3x)-2(1/2)(e^(2x))+5(e^x)-8x -4e^(-x)　+8*(-e^(-x)) +C
　＝(1/3)e^(3x)- (e^(2x))+5(e^x)-8x +4e^(-x)　+C
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(ただし　C　は積分定数）
計算違いがあるかもしれませんので、確認してください。

補足

申し訳ありません。
次の点を教えてもらえますか。
何故、｛{12t^2+8t+4}/{t(t+1)^2} = a/t + (bt+c)/(t+1)^2｝
となるのでしょうか。

回答No.1

chukanshi

（１）問題の式がよくわかりません。
（２）これは、ちょっとテクニックがいるのでヒント。
e^(-x^3)=1*e^(-x^3)とみて、f=e^(-x^3),g'=1とおいて
部分積分する。[fg]は０になるし、のこりは
(3x^3)*e^(-x^3)の積分になるので、変数変換（x^3=tとでも置いて）で
t^(1/3)e^(-t)dtの積分になるから、あとは数学の公式集をみるしかなくて
っていうか、ガンマ関数の定義の式にぴったりはまるので、
答えは、Γ(4/3)=1/3*Γ(1/3)。Γ(x)は、ガンマ関数。
Γ関数は自分で勉強してね。
（３）この重積分は、教科書をみて地道に解きましょう。
（っていうか、本当は疲れた。）

（２）だけ自信あり。