x^3-2ax^2+a^3-1=0

質問

aは正の実数とする,
f(x)=x^3-2ax^2+a^3-1=0
が異なる3つの実解を持つ時
aのとりうる値の範囲は次のどれでしょうか?

A:a>3/5^(1/3)

B:a>1

C:その他

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

f(x)=x^3-2ax^2+a^3-1=0
が異なる3つの実解を持つ条件：
f'(x)=3x^2-4ax=3x(x-4a/3)
a>0なので極大値はx=0, 極小値はx=4a/3において生じる。従って
f(x)=0 が異なる3つの実解を持つ条件は
f(0)>0 (1)
f(4a/3)<0 (2)
の両者が満たされればよい。
(1) f(0)=a^3-1>0⇒a>1
(2) f(4a/3)=-5a^3/27-1<0⇒a^3+27/5>0⇒a>-(27/5)^(1/3)=-3/5^(1/3)
(2)の条件は（1）によってカバーされる。

答えB

お礼

回答ありがとうございました。