3次関数f(x)=x~3-9x~2+12x-1で、(極大値)-(極小値

質問

3次関数f(x)=x~3-9x~2+12x-1で、(極大値)-(極小値)の値を求めよ。 という問題の解答のf(x)=(x~2-6x+4)(x-3)-10x+11がなぜ必要で、どこから考えているのかわかりません。教えて下さい。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞問題の解答のf(x)=(x~2-6x+4)(x-3)-10x+11がなぜ必要で、どこから考えているのかわかりません。教えて下さい。

そうしなければ解けない、というわけではないが、そのように進めると計算が簡単になり、計算間違いを防げる。

普通は以下のように解くだろう。

f´(x)=x＾2-6x+4＝0の2解をα、β(α＞β)とすると、x＝βで極大、x＝αで極小になる。
又、解と係数から、α＋β＝6、αβ＝4から、(極大値)-(極小値)＝f{β}-f{α}＝(β-α)*{{α＋β}＾2－αβ-9{α＋β}＋12}となる。
{β-α}＾2＝{α＋β}＾2-4αβ＝20.　α＞β　から　β-α＝-2√5　であるから、(極大値)-(極小値)＝20√5　となる。

極値を求めるときに計算を楽にするために、x＾3-9x＾2+12x-1＝{x＾2-6x+4}*{x-3}-10x+11　という恒等式　{実際に、x＾3-9x＾2+12x-1　を　x＾2-6x+4で割ると、そうなるだろう}を使う。
たまたま、x＾2-6x+4＝0であったから、x＾3-9x＾2+12x-1＝{x＾2-6x+4}*{x-3}-10x+11＝-10x+11
となるから、(極大値)-(極小値)＝{11-10β}-{11-10α}＝10{α-β}
{α-β}＾2＝{α＋β}＾2-4αβ＝20.　α＞β　から　α-β＝2√5　で同じ結果になる。

お礼

皆様大変素早い回答をありがとうございました。的確な回答で皆様非常にわかりやすかったです。機会がありましたら、今後も宜しくお願い致します。

回答No.3

OKXavier

f(α),f(β)の値を楽に求める方法をとっています。
剰余の定理の応用です。

例えば、
f(x)=x^3+x^2-2x+3、α=1-√2　の場合に、
f(α)の値を求めたいときなど、そのままαを代入せず、

f(x)=(x^2-2x-1)(x+3)+5x+6

と変形して、αの値を剰余部分のみに代入し、
　　f(α)=5α+6=11-5√2
と計算します。

x^2-2x+3=0　は　α=1-√2　を解にもちますから、α^2-2α+3=0　です。

べつにこのような方法をとらなくても求まりますが、楽に計算でき、ミスも回避できる利点があります。

お礼

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回答No.1

spring135

f(x)=x^3-9x^2+12x-1
f'(x)=3(x^2-6x+4)=3((x-3)^2-5))

x=3±√5で極値、
-∞～3-√5：増加
3-√5～3+√5：減少
3+√5～∞：増加

問題は極大値、極小値の計算です
x=3±√5をf(x)=x^3-9x^2+12x-1へ代入して
計算すればいいのですがいささか面倒です。
ここでx=3±√5はx^2-6x+4＝0を満たすので
f(x)をこれで割り算してあまりを出しておくと

f(x)=(x^2-6x+4)(x-3)-10x+11
(x^2-6x+4)(x-3)は0

よって-10x+11にx=3±√5を代入すると計算が
簡単というだけの話です。

でも役に立ちます。

お礼

皆様大変素早い回答をありがとうございました。的確な回答で皆様非常にわかりやすかったです。機会がありましたら、今後も宜しくお願い致します。