線形代数

質問

ｎ次正則行列Aの固有値が
λ1,λ2,・・・・,λｎであるとき
これら固有値のどれも０でないこと、すなわち
λ1λ2・・・・λn≠０
であることを証明せよ。

この問題が分からないので、どなたか教えてください。少し急ぎです。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#106147

少なくとも一つ固有値が0となるなら、ある0でないベクトルXについて
AX=Oをみたす。Oは零ベクトル。そうするとAは正則行列より逆行列が存在してA^(-1)AX=X=OとなってXが0でないベクトルであることに矛盾。
したがって正則行列Aの固有値がどれも0でないことが示された

お礼

助かりましたありがとうございます。

回答No.1

sinisorsa

固有値は、｜Ａ－λＩ｜＝０の解ですから、
もし、λ＝０となる解があるとすると、
｜Ａ｜＝０となる。
これはＡが正則であることに反する。
この程度でどうでしょうか

お礼

助かりましたありがとうございます。