線形代数 行列式

質問

分からないのは以下の問題です.

次の連立１次方程式を考える。

(1+λ[1])x[1] 　+ λ[1]x[2] 　　　 　 + λ[1]x[3] + ・・・+λ[1]x[n] =λ[1]
λ[2]x[1] 　　 　+ (1+λ[2])x[2] 　 + λ[2]x[3] + ・・・+λ[2]x[n] =λ[2]
・　　　　　　　　　　　・　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　・　　　　・
　 ・　　　　　　　　　　　・　　　　　　　　・　　　　　　　　　　　・　　　　・
λ[n]x[1] 　　　 + λ[n]x[2] 　　　+ λ[n]x[3] + ・・・+(1+λ[n])x[n] =λ[n]

以下の問いに答えよ.

(a)この連立１次方程式の係数行列をAとする.Aの行列式|A|を求めよ.
(b)|A|≠0のとき,この連立１次方程式の会を求めよ.

(a)は
|A|=
|(1+λ[1])　+ λ[1] 　　　 　 + λ[1] + ・・・+λ[1]|
|λ[2] 　　 　+ (1+λ[2]) 　 + λ[2]+ ・・・+λ[2] |
| 　 ・　　　　　　　・　　　　　　・　　　　　　　　　・|　　　　
| 　 ・　　　　　　　・　　　　　　・　　　　　　　　　・|　　　　
| λ[n] 　　　 + λ[n] 　　　+ λ[n] + ・・・+(1+λ[n])|
となり
(1+λ[1]+λ[2]+・・λ[n])でくくりだせて、計算していくと
(1+λ[1]+λ[2]+・・λ[n])となるのですが、答えはこれで合っているのでしょうか？
(b)はわかりません。

答えがないので分かる方、教えてください。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#2です。
＞テストで解答を書くときは、具体例を示して
＞その後一般性が成り立つと示してもいいのでしょうか？
式を証明するのが課題なのか、
式を使って問題を解くかにより
変わってきます。
証明のような場合は、数学的帰納法的にnの小さな場合とn=kで成立すればn=k+1でも成立すると言ったようなことを書くことも必要かもしれません。
ただ公式を導くだけなら、間違いを防ぐ為、n=4,5あたりの例をテスト用紙の裏に書き、一般解を書きながら、例と矛盾が無いかをチェックしながら式を書き下して行きます。一般式を直接書き下すと間違い箇所のチェックすることがまず不可能です。

お礼

わかりました！どうもありがとうございます！

回答No.4

Tacosan

#2 の補足に:
具体的な n の値で解いてみて, それが「一般の n について成り立つ」ことまで証明してあれば OK です. 単に「一般の n について成り立つ」とだけ書いてあったらアウト (か, よくてもかなり減点される).
今の場合だと, 一般の n に対し「x[i] = なにか」を代入すると全ての等式が成り立つことを示してあれば OK.

回答No.3

Tacosan

うお～, 行列式なんて計算したくね～.
全部の式を足すと, 左辺は (1 + λ[1] + ... + λ[n])(x[1] + ... + x[n]), 右辺は λ[1] + ... + λ[n] です. この時点で 1 + λ[1] + ... + λ[n] = 0 なら解は存在しません (右辺は -1 になるので). で, 解が存在するなら
x[1] + ... + x[n] = 1 - 1/(1 + λ[1] + ... + λ[n]) なので, これを各式に代入すれば (例えば 1番の式だと x[1] + λ[1](x[1] + ... x[n]) = λ[1] と書けるので) 終わり.

回答No.2

info22

(a)はOKです。
(b)
A*X=B
X={A^(-1)}*B
を計算すればいいです。
一般式でなくn=3～5位の場合で計算してみて下さい。
そうすると一般のnに対する計算がどうなるか分かるはずです。
最初からnですると行列要素の文字数の多さのために、計算ミスや計算用紙を沢山消耗するだけで無駄な努力に終わるのが落ちでしょう。
私はn=5の場合についてやって見ましたが、それでも結構式が複雑で長くなります。n=4位で計算してみることをお勧めします。

A^(-1)を求めてBに掛ける行列計算をするだけです。
逆行列の求め方や行列の積の計算は大抵の教科書や参考書に載っています。

それらの計算を一般のnに拡張すればいいでしょう。

やってみた結果は以下のようになりました。
x[i]=λ[i]/(1+Σ[j=1,n]λ[j])
i=1,2,…,n

＃１さんのA#1(2)の式と同じ結果が出てきました。

補足

テストで解答を書くときは、具体例を示して
その後一般性が成り立つと示してもいいのでしょうか？

回答No.1

eatern27

(1)はＯＫですね。

(2)は、クラメール(クラメル,Cramer)の公式を使えばサクッと。
x[i]=λ[i]/(1+Σλ[j])が解かな？

補足

n=3とおいてサクッと解けましたありがとうございます。